Эллипс

Предположим, что на плоскости даны две точки F и F₁. Геометрическое место точки М, для которой сумма расстояний MF и MF₁ — величина постоянная, есть кривая линия, называемая Э. Точки F и F₁ суть фокусы. Если в точке F ила F₁ поместить источник света, то лучи после отражения от дуги Э. соберутся в F₁ или F. Отсюда и происходит название фокус (очаг, foyer, Brennpunkt). Точка О, делящая прямолинейный отрезок FF₁ пополам, есть центр кривой. Это значит, что в точке О делится пополам всякая хорда, проходящая через эту точку. Введем обозначения: MF + MF₁ = 2а, FF₁ = 2с, b = √(а² —с²). Если начало координат возьмем в точке O, ось x-ов направим по линии FF₁, ось у-ов по перпендикуляру к FF₁, то уравнение Э. будет

x²/a² + y²/b² = 1.

Вид этой кривой изображен дстаточно описан. Отложим по оси х-ов расстояние OD, равное а²/c, в ту сторону, где находится точка F, и проведем прямую DE перпендикулярно к оси x-ов. Эта прямая называется директриссой. Расстояние M до этой прямой обозначим через MP. Для всякой точки M Э. отношение MF/MP есть величина постоянная, называемая эксцентриситетом и обозначаемая буквой е. В нашем случае е = с/а. Это показывает, что для Э. е < 1. По другую сторону центра лежит фокус F₁ и соответствующая ему директрисса D₁E₁. Точки пересечения Э. с осью х-ов (на ней находятся фокусы) обозначим через А и a₁, а с осью у-ов через В и В₁. В таком случае

АА₁ = 2а, ВВ₁ = 2b.

АА₁ назыв. большой осью Э., а ВВ₁ — малой осью. Точки A, А₁, B, B₁ назыв. вершинами Э. Мы предполагаем, что А и В находятся на положительных частях осей координат, а А₁ и B₁ — на отрицательных. Если начало координат перенесем в А₁ и сохраним прежнее направление осей координат, то уравнения Э. будет

у² = 2px + qx²,

где p = b²/a², q = — b²/a². Число 2р называется параметром.

Уравнение

r = p/(1 + eCosφ)

выражает Э. относительно полярной системы координат, причем полюс находится в фокусе, а полярная ось проходит через вершину Э. При пересечении конуса плоскостью, удовлетворяющей некоторым условиям, получется Э. См. Конические сечения (см.).

Д. С.