Электрические колебания*

— Уже давно было замечено, что если обмотать стальную иглу проволокой и разрядить через эту проволоку лейденскую банку, то северный полюс не всегда получается на том конце иглы, где его можно было ожидать по направлению разрядного тока и по правилу Ампера (Савари, 1827). Это явление может быть объяснено только так. Разряд носит колебательный характер, т. е. происходит явление, аналогичное колебанию маятника. Если вывести маятник из положения равновесия и затем отпустить его, то маятник, вернувшись в положение равновесия, по инерции перейдет через него, отклонится в противоположную сторону, снова пройдет через положение равновесия, отклонится в первоначальном направлении и т. д. Так как колебания маятника сопряжены с уменьшением энергии, которая тратится на преодоление трения и переходит в теплоту, то колебания должны затихнуть. Нечто аналогичное происходит при разряде конденсатора через проводник, обладающий некоторым коэффициентом самоиндукции (см. Индукция). Самоиндукция играет в Э. явлениях роль инерции. Благодаря этому при соблюдении известных условий разряд конденсатора может носить колебательный характер, т. е. после того, как с одной обкладки конденсатора уже стекло столько электричества, что потенциалы обеих обкладок сравнялись, течение электричества благодаря Э. инерции, т. е. самоиндукции, продолжается и конденсатор перезаряжается, затем то же самое происходит в обратном направлении. Так как часть энергии тратится на Джоулево тепло, т. е. на нагревание, то и Э. колебания должны ослабевать и затихнут. Разряд прекращается, когда колебания ослабнут настолько, что будут не в состоянии преодолеть искрового промежутка. Опыт Савари, указанный в начале, и объясняется тем, что намагничивание иглы зависит от направления последнего разрядившегося через искру тока, который может быть обратным первому. Введение в цепь разряда большого гальванического сопротивления, напр. намоченной нити, уничтожает колебательный характер разряда, подобно тому, как и маятник без колебаний возвращается в положение равновесия при существовании большого трения.

Период (продолжительность) одного колебания зависит от емкости и самоиндукции и есть, вообще говоря, величина очень малая. Благодаря исследованиям сэра Вильяма Томсона (лорда Кельвина) мы можем количественно выразить условия, необходимые для возникновения колебания, и определить период колебания, по крайней мере в первом приближении. Разряд конденсатора происходит в почти замкнутом проводнике. Мы предполагаем, что ток смещения (см. Э. смещение) не оказывает влияния на величину коэффициента самоиндукции. Далее мы предполагаем, что можем пренебречь емкостью проводов сравнительно с емкостью конденсатора. Пусть емкость конденсатора С, потенциалы обкладок его V1 и V2, заряд положительной обкладки конденсатора е m (в электромагнитных единицах), сила тока i, коэффициент самоиндукции L, сопротивление цепи — r. Тогда мы можем написать следующие уравнения:

е m = С (V1 — V2)... (1)

i = — d е m/dt ... (2)

или

i = —C[d(V1 — V2)/dt] ... (3).

Выражение закона Ома в данном случае будет

ir = —L(di/dt) + V1 — V2 ... (4).

Если умножить уравнение (4) на С, продифференцировать его по t и сложить с уравнением (3), то получается:

Cr(di/dt) + i = —LC(d2i/dt)

или

(d2i/dt2) + (r/L)(di/dt) + (1/LC)i = 0... (5).

Общий интеграл этого выражения будет:

Здесь A1 и A2 две независимые постоянные, e — основание Неперовых логарифмов, a k1 и k2 оба корня квадратного уравнения

k2 + (r/L)k + 1/(LC) = 0,

т. е.

Легко показать, что если k1 и k2 — вещественны, то при разряде ток сначала возрастает до некоторого максимума, потом непрерывно падает до нуля. Следовательно, колебаний нет. Если k1 и k2 мнимы, то ток, как мы сейчас увидим, есть периодическая функция времени, причем направление тока меняется. Следовательно, мы имеем колебания. Отсюда получается условие, необходимое для возможности колебаний, а именно:

r < 2√(L/C)... (8).

Пренебрежем для этого случая величиной r2 в сравнении с 4 (L/C), тогда мы получим такое выражение для i:

Здесь Т = 2 π √(L/C).

Если не пренебрегать величиной r2, то полное выражение для Т будет

Определяя коэффициенты А 1' и А 2' из начальных условий, мы можем преобразовать формулу (9) и привести ее к такому окончательному виду, где ε = √[1/(L/C) — (r)2/(4L2)]

i = [(V1 — V2)/ ε L](e—(r/2L)t)Sin2 π (t/T) ... (9').

Множитель e—(r/2L)t указывает на постепенное затухание явления. Множитель Sin2π (t/T) указывает на колебательный характер процесса с периодом Т. В каждые два момента, отстоящие друг от друга на Т, разряд происходит в том же направлении, но каждый следующий раз размах явления ослабляется. Справедливость формулы (10) была проверена на опыте Феддерсеном. Продолжительность колебания, т. е. Т, в опытах Феддерсена была порядка 10 —6 секунды (одна миллионная), напр. в одном опыте она была 2,6∙10 —6, в другом 45,4∙10 —6. Метод наблюдения Феддерсена заключался в следующем. Искровой разряд наблюдался в быстро вращающемся вогнутом зеркале, или изображение искры отбрасывалось на светочувствительную бумагу, и получались отпечатки. При вращении зеркала различные во времени картины искры получались на различных точках бумаги. Опыты Феддерсена вполне подтвердили правильность теории Томсена. По виду изображения искры можно было убедиться, что искра при очень большом сопротивлении цепи прерывиста, но не колебательна. Затем при несколько меньших сопротивлениях она непрерывна, а при еще меньших сопротивлениях она принимает колебательный характер. Зная скорость вращения зеркала и угол поворота, можно было определить Т. Феддерсен вывел из своих опытов, что период T прямо пропорционален корню квадратному из числа лейденских банок [это соответствует формуле (10)], а предельное сопротивление, при котором заряд принимает колебательный характер, обратно пропорционально корню квадратному из числа банок [это соответствует формуле (8)]. Позднейшие работы точно так же, в общем, подтвердили применимость формулы Т = 2 π √(L/C).

Важное значение вопроса об электрических колебаниях заключается в том, что при посредстве электрических колебаний были экспериментально подтверждены воззрения Максвелла на сущность электрических явлений. Не вдаваясь в подробности (см. статьи: 1) Электричество, теория, и 2) Электромагнитная теория света), укажу в самых общих чертах основные воззрения Максвелла, сюда относящиеся. Максвелл полагает, что возможны только замкнутые токи. Следовательно, если происходит разряд конденсатора, то и тут токовые линии должны где-нибудь замкнуться. Так как это возможно только через воздух, то предположение Максвелла сводится к тому, что и в изоляторах в известных условиях возможны Э. токи. Представляя себе эфир как несжимаемую жидкость, мы можем представить себе эти токи в изоляторах как токи смещения. Эфир выводится из своего положения равновесия. Определенное количество эфира проникает внутрь поверхности проводника, и такое же количество эфира проходит наружу через поверхность другого проводника. Подобные же рассуждения применимы и к магнитному полю. Относительно магнитного поля Максвелл полагает, что его свойства не меняются от того, какого рода Э. токи происходят в нем. Совокупность электрических и магнитных изменений состояния эфира составляет "электромагнитное поле изолятора". Максвелл выразил его математически в виде шести уравнений. Из этих уравнений вытекает следующий важный результат. Если в электрических или магнитных силах произойдет какое-либо возмущение, то это возмущение распространяется в свободном эфире с конечной скоростью

v = 3 x 1010 cm/sec

в виде поперечной волны.

v есть отношение электромагнитной и электростатической единиц количества электричества и равно скорости света. Понятно, каким образом колебания могут быть применены для опытного определения скорости распространения электромагнитных возмущений.

Для волнообразного движения существует формула

λ = vT... (11),

где λ — длина волны, v — скорость распространения волнообразного движения и T — период колебания.

Если мы определим период колебания по емкости и если нам удастся из опыта определить λ, т. е. длину волны электромагнитного возмущения, то мы получим v.

v = λ /T... (12).

Известно, что этот опыт был осуществлен знаменитым Герцем (см. Герца опыты).

Изложу только самые основы работ Герца. Легко понять, что если в каком-либо приборе (вибратор Герца) вызвать колебательный разряд через искру, то этот разряд вызовет в эфире возмущение, которое и будет распространяться в окружающем пространстве со скоростью

v = 3 x 1010 cm/sec

Необходим, следовательно, прибор, который бы обнаруживал эти волны в окружающем пространстве. Таким прибором является вибратор Герца.

Устройство вибратора Герца понятно из вышеизложенных соображений. Это есть система, емкость и самоиндукция которой может быть определена, — система, заключающая в себе искровой промежуток. Герц поступал следующим образом (фиг. 1).

Два медных стержня l1 и l2 длиною 1,3 метра и диаметром 5 мм расположены друг против друга. На концы их надеты маленькие шарики b1 и b2, расстояние между которыми не превышало 0,75 см; на стержни надеты два шара A1 и A2 диаметром в 30 см. Искра возбуждалась между шариками b1 и b2 при посредстве большой спирали Румкорфа R. Два стержня с шарами и составляют систему вибратора. Является вопрос, не повлияет ли на период колебания вибратора то обстоятельство, что оба стержня соединены металлически через вторичную обмотку спирали Румкорфа. Можно рассуждать так. Если даже не проскочит искра, все же разность потенциалов, возникшая на шарах A1 и A2, при единичном размыкании первичной обмотки спирали должна колебательно разрядиться через вторичную обмотку спирали. Однако вследствие большого коэффициента самоиндукции вторичной обмотки колебания в ней гораздо медленнее, чем собственные колебания в системе вибратора. Поэтому вследствие большой электрической инерции вторичной обмотки собственные колебания системы вибратора вообще не передаются туда, а произойдут в прямых стержнях и искровом промежутке. Легко показать, что быстрые колебания затухают гораздо скорее, чем более медленные. После затухания быстрого колебания медленное свершится своим чередом. Пуанкаре придумал остроумное сравнения для иллюстрации вышеизложенного. Если, говорит он, к чечевице длинного и тяжелого маятника прикрепить другой, короткий и легкий, то период колебания короткого маятника очень мало пострадает от колебаний длинного маятника, на котором он висит. Кроме этих двух периодов колебаний, мы имеем еще третий периодический процесс, а именно период Нефова молотка или вообще прерывателя первичной обмотки спирали. Этот процесс намного самый медленный; ко второму удару прерывателя успеют затухнуть оба колебания, и роль прерывателя, очевидно, только та, что он вызывает периодическое повторение указанных выше колебаний и таким образом делает доступным наблюдению эти в высшей степени кратковременные процессы. Зная емкость и самоиндукцию вибратора, очевидно. можно вычислить его период колебания (см. Герца опыты). Для этого может служить формула (10). Обращаемся к резонатору. Колебания, возникающие в вибраторе и вызывающие в окружающем эфире электромагнитную волну, могут быть обнаружены на основании явления, подобного акустическому резонансу. Если поставить на некотором расстоянии два камертона, настроенные на один и тот же тон и затем привести в звучание один из них, то другой точно так же начинает звучать. Если подвесить два маятника одинаковой длины, т. е. того же периода колебания, и затем привести в колебание один из них, то и другой начнет колебаться. Эти явления, явления резонанса, охватывают собою обширный класс физических процессов и могут, между прочим, быть применены и к электрическим колебаниям. Если поместить вблизи вибратора проволочный контур определенных размеров, два конца которого сближены до весьма малого расстояния, то, вообще говоря, каждой искре вибратора будет соответствовать искра между концами проволоки рассматриваемого контура. Контуры могут быть разной формы. Они по справедливости носят название резонаторов. Один из таких резонаторов изображен на фиг. 2.

Винт служит для того, чтобы можно было изменять размеры искрового промежутка и по максимальной искре судить о разности потенциалов концов проволоки. Для каждого вибратора существует определенных размеров наилучший резонатор. Можно сказать, что если резонатор представляет собою почти замкнутый контур, то это будет тогда, когда длина проволоки резонатора будет равна половине длины волны, соответствующей колебанию вибратора. Тогда именно собственные колебания резонатора совпадут с колебаниями данного вибратора.

Причина появления искр в резонаторе заключается в том, что под влиянием пересекающих площадь резонатора магнитных силовых линий в нем возникает переменная электродвижущая сила. Процессы в резонаторе совершенно подобны тем, которые изучаются в механике при разборе воздействия вынужденных (насильственных) колебаний на систему, обладающую собственными колебаниями. Когда оба периода колебаний одинаковы. то собственные колебания системы особенно сильны. Особый интерес представляет изучение при посредстве резонатора стоячих электромагнитных волн. Если отразить электромагнитную волну от металлического зеркала, достаточно большого в сравнении с величиною волны, то эта волна отразится назад и, идя назад, встретить следующие волны, еще не дошедшие до зеркала. ее колебания будут складываться с колебаниями волн, идущих к зеркалу. При этом если разность фаз этих волн равна целому числу волн, то они усилятся; если разность фаз равна нечетному числу полуволн, то колебания уничтожатся; если амплитуды волн равны или вообще ослабнут в наибольшей степени, если амплитуды не равны. Так как разность фаз определяется только расстоянием от зеркала, то понятно, что в пространстве образуются области, где амплитуды колебаний наибольшие (пучности), и области, где они наименьшие (узлы). Легко понять, что расстояние от пучности до пучности или от узла до узла равно полуволне. Явление вышеописанное и есть явление стоячих волн; поставив на некотором, довольно значительном, расстоянии от вибратора металлический экран и передвигая между ними резонатор, можно заметить места, где искра в резонаторе наибольшая, и места, где она наименьшая или ее совсем не будет. Измеряя расстояния от максимума до максимума или от минимума до минимума, можно определить величину полуволны, а отсюда и величину волны электромагнитного возмущения в эфире. Подставляя эту величину в формулу λ = vT, в которой уже известно T, можно определить v. Известно, что это сделал Герц, что именно ему удалось показать, что скорость распространения электромагнитной волны равна скорости света и что действительно согласно предсказанию Максвелла электромагнитные волны обладают всеми свойствами лучистой энергии (они отражаются. преломляются, обнаруживают свойство поляризации, проходят через диэлектрики и отражаются от металлов; см. Герца опыты.).

Теперь рассмотрим Э. колебания, распространяющиеся вдоль проволок. Можно устроить вибратор Герца таким образом: два металлических листа A1 и A2 соединены с искровым промежутком; перед ними поставлены два других металлических листа B1 и B2, соединенные с двумя параллельными проволоками E1 и E2 (фиг. 3).

Тогда вибратор A1A2 вызывает в проволочной системе колебания. Эти колебания будут наиболее отчетливы при одном определенном расстоянии листов А 1 и А 2 между собой. Тогда колебания вибратора соответствуют одному из колебаний проволочной системы. Концы Е проволок могут быть соединены между собой проводящим мостиком или же конденсатором или оставлены на свободе (предыдущая система придумана Лехером и представляет некоторые преимущества перед первоначальной системой Герца). Относительно колебаний в проволоке вообще можно доказать следующее. Скорость распространения волн вдоль проволок равна v/√ ε, где v — скорость света, ε — диэлектрическая постоянная той среды, в которой находится проволока. Это заключение справедливо, если направление электрических сил перпендикулярно к поверхности проволоки и вообще если сопротивлением проволоки можно пренебречь. Данной проволоке соответствует ряд колебаний, соответствующих тонам и обертонам в акустике. В проволоках возникают благодаря отражению от концов стоячие волны. Если мы в каком-либо месте соединим обе проволоки проводящим мостиком, то расстояние от мостика до свободного конца должно равняться нечетному числу четвертей волны. На полволны от одного моста мы можем включить другой. От этого ничего в системе не изменится. Аналогия с звучащей открытой трубой напрашивается сама собой. И там, и тут стоячие волны, и там, и тут длина системы связана с четвертью волны. Для наблюдения колебаний Лехер воспользовался сильно разреженной трубкой с азотом. Если приключить к концам Е 2 конденсатор и положить на проволоки трубку, то она светится. Это тоже явление резонанса. Если в каком-либо месте перекинуть через трубку мост, то свечение прекращается, но, двигая мост, можно найти такую точку, где свечение снова восстановляется. Лехер объяснил это таким образом, что при этом положении мостика обе части, на которые разделена мостиком проволочная система, находятся в резонансе. Это объяснение подтверждено Коном и Гервагеном. Если затем наложить на проволоки второй мост, то можно найти точку для второго моста возможно ближе к первому, когда и при двух мостах трубка светится. Тогда мостики отстоят друг от друга на целое число полуволн, а в ближайшем возможном положении — на одну полуволну. Из таких наблюдений можно определить λ. Если мы будем знать еще и Т, то мы можем определить скорость распространения волн по проволокам. Лехер сделал это и получил 3,3 x 10 10, т. е. скорость света. Таким образом, теория Максвелла была вполне подтверждена. Заметим, что так как в формулу для скорости распространения Герцевских волн входит ε — диэлектрическая постоянная, то Герцевские колебания могут служить для определения диэлектрических постоянных. И действительно, лучшие способы определения диэлектрических постоянных сводятся к определению длин волн, распространяющихся вдоль проволок, помещенных в разных средах. Саразэн и де ла Рив, повторяя опыты Герца, заметили, что если они меняли размеры вибратора, но не меняли размеров резонатора, то они получали пучности и узлы в одних и тех же точках. Они объяснили себе это явление, которое они назвали "сложным резонансом", тем, что данный вибратор испускает комплекс колебаний различных периодов и что резонатор выбирает из них то колебание, которое соответствует его собственным колебаниям. Однако Пуанкаре и Бьеркнесс показали, что это явление может быть объяснено тем обстоятельством, что затухание колебаний вибратора гораздо быстрее затухания колебаний резонатора. Тогда из простых соображений можно вывести, что действительно пучности и узлы будут зависеть, главным образом, от периода колебаний резонатора, но что максимумы и минимумы будут все же гораздо резче выражены, когда колебания вибратора и резонатора одинакового периода. Бьеркнесс непосредственными опытами показал, что если придать колебаниям вибратора вид Ае —(γ t/T)Sin[2 π (t/T) ], то γ оказывается равным 0,3. Это соответствует очень сильному затуханию. В то же время для колебаний резонаторной системы Бьеркнесс получил для γ 0,002, т. е. гораздо меньшую величину. Приведу несколько подробнее рассуждение Пуанкаре (см. И. Боргман, II ч., стр. 657). Для простоты рассуждения предполагается такая быстрота затухания колебаний в вибраторе, что одному разряду соответствует только одно колебание. Рассмотрим, что произойдет в каком-либо месте проволоки М, вблизи которого находится резонатор. До М дойдет электромагнитная волна, вызовет в резонаторе ток, пройдет дальше, дойдет до конца проволоки, отразится и снова дойдет до М, но теперь вызовет в резонаторе уже ток обратного направления. Пусть между этими двумя моментами прошло время τ и пусть, период собственных колебаний вибратора будет Т. В некоторый момент t в резонаторе наблюдается ток i, представляющий алгебраическую сумму двух токов, i1 и i2, возбужденных соответственно прямой и отраженной электромагнитной волной. Для токов i1 и i2 мы можем написать выражения:

i1 = A1Cos[2 π (t/T)] + A2Sin[2 π (t/T)]

i2 = —{A1Cos[2 π (t — ╢)/T ] + A2Sin[2 π (t/T)]}.

Далeе

i = i1 + i2 = A1{Cos[2 π (t/T)] — Cos[2 π (t — ╢)/T ]} + A2{Sin[2 π (t/T)] — Sin[2 π (t — ╢)/T ]}.

Нам будет казаться, что в данном месте узел, если i = 0. Это соответствует условию: Cos[2π (t/T)] = Cos[2 π (t — ╢)/T ]

Sin[2 π (t/T)] = Sin[2 π (t/T)]

или, что то же,

2 π (╢/T) = m2 π,

где т — целое число. Итак, мы получаем узлы на расстояниях от конца проволоки l0, l1, l2, ..., определяющихся из выражений

╢ 0 = 2l0/V = 0; ╢ 1 = 2l1/V = T; ╢ 2 = 2l2/V = 2T ...

Мы видим, что длина волны определяется исключительно величиной Т, т. е. периодом собственных колебаний резонатора. Друде замечает, что два воззрения на сложный резонанс несущественно различны, так как, с одной стороны, Саразэн и де ла Рив признают, что основное колебание вибратора значительно превосходит другие по интенсивности, а с другой стороны, из теоремы Фурье следует, что каждое затухающее периодическое колебание можно рассматривать как результат наложения бесконечно большого числа периодических колебаний различных периодов. Нельзя, однако, признать довод Друде убедительным. Он скорее убеждает в аналитической тождественности двух физически различных явлений, чем в тождественности самих физических процессов. Главнейшая литература: Hertz, "Untersuchungen ü ber die Ausbreitung der electrischen Kraft" (Лпц., 1895); И. Боргман, "Основания учения об электрических и магнитных явлениях" (2 т.; 2-е изд. СПб., 1900); Drude, "Physik des Aethers" (Штутгарт, 1894); J. J. Thomson, "Recent researches in electricity and magnetism" (Оксфорд, 1893); Poincar é, "Les oscillations elektriques" (П., 1894).

К. К. Баумгарт.