Поверхность

Поверхность (Surface, Oberflache). - Всякую непрерывную кривую линиюможно представить, как след движущейся точки. подобно этому и всякую П.можно образовать или описать движением в пространстве некоторой кривойлинии неизменяемого или изменяемого вида и размеров и при том способобразования П. может быть разнообразен. Например, всякая П. вращенияможет быть получена вращением надлежащей плоской кривой вокруг оси,находящейся в одной с нею плоскости, и та же П. может быть описанаокружностью круга, радиус которого изменяется по надлежащему закону, аплоскость которого движется поступательно вместе с центром, движущимсяпо оси вращения, перпендикулярной к плоскости круга. Из этого видно, чтовид П. может быть еще более разнообразен, чем вид кривых. Наглядноепредставление о виде П. трудно достижимо помощью рисунков и чертежей,столь удобных для представления плоских кривых линий. Лучшим средствомдля наглядного представления П. служат модели, металлические,деревянные. гипсовые и др. Предмет учения о П. разного рода, теперьизвестных и изученных, очень обширен и в настоящей статье придетсяограничиться указанием на некоторые виды П. более известные и чащевстречающиеся. Многие П. могут быть аналитически представленыуравнениями вида: f (x, y, z) = 0, выражающими зависимость междукоординатами точек, принадлежащих П. Иногда П. выражается двумяуравнениями, заключающими кроме координат еще четвертую переменнуювеличину, имеющую значение параметра кривой линии. которая своимдвижением образует П.; в таком случае уравнение П. должно получиться, поисключении этого переменного параметра, из двух уравнений. Наконец,случается, что координаты точек П. выражены функциями двух переменныхпараметров, тогда уравнение П. должно быть результатом исключения этихпараметров из трех уравнений. Если f(x, у, z) есть функцияалгебраическая, то П. называется алгебраическою, а если в этой функциизаключаются функции трансцендентные, то П. называется трансцендентною.Соответственно степени уравнения, алгебраические П. разделяются напорядки. П. первого порядка суть плоскости. П. второго порядка:эллипсоиды, шары, гиперболоиды об одной и двух полах, параболоидыэллиптические и гиперболические, цилиндрические и конические П. второгопорядка рассматриваются в любом курсе аналитической геометрии впространстве. П. третьего порядка рассматривались и исследовались с З0-хгодов настоящего столетия многими авторами, таково например исследованиепроф. Клейна ("Mathem. Annal. ", т. Vl), в котором П. эти разделены нанесколько классов, начиная с таких, на которых лежат 27 прямых линий. П.четвертого порядка также были предметом изучения некоторых математиков ипостроены модели многих П. третьего порядка и некоторых четвертогопорядка. Наконец, встречаются исследования касательно П. высшегопорядка, такова напр. алгебраическая П. девятого порядка, открытаяЭннепером и принадлежащая к числу П. minima, т. е. таких, средняякривизна которых равна нулю. Гиперболоиды об одной поле и параболоидыгиперболические принадлежат к классу линейчатых поверхностей, к которымпринадлежат еще всевозможные П. цилиндрические, конические, линейчатыеконоиды, линейчатые геликоиды. Гиперболоид об одной поле и параболоидгиперболический имеют по две системы прямолинейных производящих.Линейчатые П. могут быть разделены на два разряда: развертываемые наплоскость и косые. К первым принадлежат: все цилиндрические, всеконические П. и геликоид, развертываемый на плоскость. К косымпринадлежат вышесказанные гиперболоид и параболоид и обыкновеннаявинтовая П. производящие которой перпендикулярны к оси. Эта П. естьвместе с тем и коноид и одна из П. minima. П. minima названы так потому,что занимают собою наименьшую площадь при заданном контуре; в каждойточке такой П. сумма главных кривизн или средняя кривизна П. равна нулю.а поэтому они могут быть воспроизведены пластинчатою поверхностьюмыльной воды по способу Плато. Существует весьма большая литература повопросу о П. Minima. В книге Дарбу: "Lecons sur theorie generale dessurfaces" (4 тт.) можно найти весьма полное изложение по теории П.Minima. В числе П. Minima есть катеноид, т. е. П., образуемая вращениемцепной линии вокруг ее оси абсцисс. Этот катеноид может быть наложен безразрыва и складок на вышесказанную винтовую линейчатую П. таким образом,что, обратившаяся в прямую линию окружность шейки катеноида, ляжет вдольоси винта, и все кривые меридиональных сечений катеноида обратятся впрямые, которые лягут по производящим. Катеноид есть единственнаяминимальная П. вращения. П. с постоянною среднею кривизною принадлежат кчислу тех, которыми может быть ограничена П. жидкости, неподверженнойдействию внешних сил. К числу таких П., кроме катеноида, принадлежат двеП. вращения: ундулоид и нодоид. Из числа П. с постоянною полнойотрицательной кривизной мы укажем на одну П. вращения, меридиональноесечение которой есть трактриса или трактория; эта П. называетсяпсевдосферой, потому что, подобно как на сфере, можно переносить фигуру,начерченную на ней, на другую часть П. с сохранением длин дуг, углов ивеличин площадей. Д. Б.