Квадратура

Квадратура круга. - Так называется знаменитая задача: построитьквадрат, равновеликий по площади кругу данного радиуса. Эта задача былапредметом непрерывного ряда усиленных изысканий греческих математиков изначительно повлияла на поразительные успехи геометрии в древности. Ужедавно явилась догадка, что задача К. круга не может быть решена припомощи линейки и циркуля, хотя и не было точных доказательств этогопредположения. В виду достаточного развития элементарной геометриипарижская акд. наук в 1775 г., а прочие академии несколько позднееобъявили, что они не будут принимать на рассмотрение новые попыткирешения К. круга, так как, не принося существенной пользы для науки,подобные изыскания стали бесцельно отнимать время и силы исследователей;в настоящее время ни одно учёное учреждение не станет рассматриватьпретенциозных статей с решением задачи о К. круга, а также задач обудвоении куба и трисекции угла и задачи о вечном движении После работЭрмита и Линдемана можно считать доказанной абсолютную невозможностьрешения К. круга при помощи линейки и циркуля. Ныне этой задачейзанимаются только люди, не пошедшие дальше элементарного курсаматематических наук и которые не вполне ясно понимают, чего собственноони добиваются. В большинстве случаев такие люди не знают историисделанных до сих пор в этой области изысканий и результатов работвыдающихся ученых. Хотя, к сожалению, и теперь ещё в книжные магазиныпоступают брошюры, в которых авторы пытаются решить нерешимую задачу,однако большинство, хотя и смутно, сознаёт полную невозможность такогорешения и слова: "ищет К. круга" являются уже давно синонимом бесплоднойтраты времени. площадь круга равна произведению p?R2 где (- отношение длиныокружности к диаметру (или длина окружности при R = 1, от perijereia-окружность), а R - радиус круга. Очевидно, что существует квадрат,площадь которого равновелика. площади круга заданного радиуса; сторонатакого квадрата должна равняться. Можно придумать множествогеометрических приёмов для нахождения стороны этого квадрата, но, принужных к тому построениях, придётся, кроме прямой линии и круга,употреблять некоторые другие кривые линии и строить особые механическиеприборы для их вычерчивания. Если говорится, что задача не решаетсялинейкою и циркулем, то это никак не означает её невозможность, а то,что задача не может быть решена следующими двумя операциями (илиизвестным числом повторений этих операций): 1) провести прямую через двезаданные точки и продолжить эту прямую сколь угодно далеко в обе стороны(эта операция совершается при помощи линейки), и 2) вычертить круг, еслиуказана некоторая точка, которую должно принять за центр и, если радиускруга указан так или иначе сделанными раньше построениями или, если этотрадиус, по условию построения, можно взять произвольным. Эта операциясовершается циркулем. В элементарной геометрии под решением задачипостроением разумеется определение точки или линии при помощипоследовательного ряда повторений указанных двух операций. Некоторыезадачи могут быть решены и одною линейкою, как напр. построениекасательной к кругу из данной внешней точки; без сомнения нелепо будетпредположение, что и все задачи должны решаться одной линейкой. Точнотакже нелепо предположение, что все задачи должны решаться тольколинейкой и циркулем. Математические рассуждения, которые привели кполному и строгому доказательству невозможности решения некоторых задачпри помощи только линейки и циркуля, основываются на следующихсоображениях. Свойства прямой линии и круга, как показывается ваналитической геометрии, состоят в том, что какое бы ни было заданопостроение прямых и кругов, все точки пересечений таких линий даютотрезки, длины которых вычисляются из ряда уравнений первой степени иликвадратных, так что подобные построения могут дать лишь такие отрезки,для вычисления длины которых нет надобности выходить из областиуравнений первой и второй степеней. Задача К. круга потому невозможнапри помощи только линейки и циркуля, что в этом случае приходитсястроить число ; что же касается числа p, следовательно, и квадратногокорня из него, то это число, как показывают безусловно верные, а впоследнее время даже очень просто доказанные теоремы, естьтрансцендентное число, т. е. такое, которое не может удовлетворятьникакому алгебраическому уравнению какой бы то ни было степени с целымикоэффициентами, т. е. уравнению вида: A0xn + A1xn-1 + A2xn-2 + ... + An-1x + An = 0, где все коэффициентыA0, A1... числа целые. Если бы задача К. круга решалась линейкою и циркулем, то число ,следовательно, и само (строились бы при помощи последовательного иконечного ряда прямых и кругов, а потому число (можно было бы вычислитьпри помощи ряда уравнений первой степени и квадратных. Из алгебрыизвестно, по какой бы ни был задан ряд уравнений первой и второйстепеней и таких, что коэффициенты каждого следующего уравнения зависятот корней предыдущих, всегда можно этот ряд уравнений заменить одним,более высокой степени с целыми коэффициентами, а потому число p было быкорнем алгебраического уравнения, что невозможно. Из рассмотренияформулы . R ясно, что К. круга была бы найдена, если и помимо чистогеометрического построения удалось бы точно выразить длину окружностикруга в частях радиуса или просто найти число, точно выражающее величинуp. Соответственно этим разным постановкам вопроса, в истории изысканийК. круга встречаются - то чисто геометрические приёмы построений, топопытки вычисления величины p. Уже у египетских математиков находятсяпервые решения задачи, как построить квадрат, равновеликий данномукругу, или определить соотношение между окружностью и её диаметром. Вбританском музее хранится папирус Ринда, написанный Ахмесом за 2000 летдо Р. Хр., в котором автор называет своё решение сводом правил,известных ещё гораздо раньше. По Ахмесу, сторона квадрата, равновеликогоплощади круга, равна восьми девятым диаметра (так что p = 3,16). - Удревних вавилонян и евреев принималось, что окружность ровно втроебольше диаметра и следовательно, p=3. - У греков, по словам Платона, К.круга занимался уже Анаксагор, во время своего пребывания в изгнании (Vв. до Р. Хр.). Первая попытка указать "пределы" для числа p была сделанаБризоном, который справедливо говорит, что окружность круга должна бытьменьше периметра многоугольника, описанного около неё и больше периметравписанного в нее многоугольника. Гиппократ старался определить площадькруга при помощи так наз. "луночек". Динострат спрямил окружность припомощи построения особой кривой "квадратриссы". Замечательно, чтознаменитый Евклид в своих "Элементах" геометрии совершенно не упоминаето К. круга и рассматривает только отношение площадей кругов разныхрадиусов. Совершенно самостоятельно и независимо от предшественниковвзглянул на эту задачу Архимед. Он вычислил периметры вписанных иописанных 96-ти угольников и показал, что величина p заключается междупределами 31/7 и 310/71; число 31/7= 22/7 и до сих пор во многихпрактических вопросах считается весьма удобным и достаточнымприближением для p. Достойно удивления, что свои сложные ипродолжительные вычисления Архимед производил во времена, когда неупотреблялась ещё арабская система счисления. Птолемей дал для p число317/120, более точное, чем 31/7, но оно не вошло в употребление, будучинайдено позднее более простого числа Архимеда. В Кулвазутрасе, весьмадревнем математическом сочинении индусов, находится решение задачи,обратной К. круга: построить круг, равновеликий данному квадрату; поэтому решению радиус искомого круга равен половине стороны квадрата,увеличенной на треть разности между половиной диагонали и половинойстороны данного квадрата. Ариабхатта (500 л. по Р. Хр.) вычислил p =3,1416; это число точнее, чем приближения Архимеда и даже Птолемея, таккак вычислитель, следуя методу Архимеда, дошёл до 384-х угольника.Другой индийский математик Браматупта (VII в.) нашёл, что ; это число,как связанное с десятичной системой счисления, долгое время считалосьлучшим приближением и неизменно употреблялось потом всеми арабскимиматематиками. В китайских книгах найдена величина p = 37/50, котораяменее точна, чем число Архимеда. В Европе изыскания К. круга началисьлишь с XV в. Кардинал Николай Куза нашёл следующее решение: по данномукругу должно построить другой, диаметр которого равен радиусу данногокруга плюс сторона вписанного в него квадрата. Тогда периметр вписанногово второй круг равностороннего треугольника равен окружности данногокруга. Легко рассчитать, что это приближение хуже приближения Архимеда.Симон Ван-Эйк в конце XVI в. обнародовал сложное построение, котороедаёт для p величину, более точную, чем приближение Архимеда. Чтобыдоказать неверность этого построения, другой голландский математикАдриан Мециус занялся изысканием для p величины более точной чем 22/7.Таким образом ошибочное построение Ван-Эйка было поводом к открытиюзнаменитой и легко запоминаемой дроби 355/113, которая представляетотношение окружности к диаметру с точностью до 0,000001. Не лишнеезаметить, что ныне, при помощи теории непрерывных дробей доказано, чтопри употреблении только трехзначных чисел, никакие два другие числа немогут представить величину p точнее, чем отношение 355:113, найденноеМециусом. Неутомимый вычислитель Романус, применяя способ Архимеда,дошёл до многоугольников о 1073741824 сторонах, т. е. числа сторон,равного 230. Но Лудольф Ван-Цейлен превзошёл его и для p дал число с35-ю десятичными знаками. Это число, названное "лудольфовым", равно: 3,14159265358979323846264338327960288. Снеллиус и Гюйгенс в XVII в. указали новые пути, дающие возможность,рассматривая многоугольники с меньшим числом сторон, находитьприближения для p гораздо скорее и с большим числом десятичных знаков.Однако, вычислительные приёмы сделались ещё проще с тех пор, как длявеличины p начали открывать формулы, составленные из бесконечногоповторения операций над известными числами. Первая мысль отыскать такиеформулы принадлежит Виету; он дал ряд по которому и вычислил сам величину p до 4-х десятичных знаков.Валлис дал другое замечательное произведение, а Грегори, и, независимоот него Лейбниц открыли ряд: Оригинальный ряд, откуда получается предыдущий как частный случай,есть arctg где а есть тангенс центрального угла в круге, которого радиусравен единице. На основании этого ряда легко составить и такой: где а, b, с.... суть тангенсы углов, которых сумма равна 45