Théorèmes d'isomorphisme

En mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes.

Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment « Anneau quotient », « Algèbre universelle » et « Groupe à opérateurs ».

Premier théorème d'isomorphisme[modifier | modifier le code]

Le premier théorème d'isomorphisme affirme qu'étant donné un morphisme de groupes $f:G\to G'$ , on peut rendre $f$ injectif en quotientant $G$ par son noyau $Ker f$ , qui est un sous-groupe normal de $G$ .

Premier théorème d'isomorphisme^[1] — Soit $f:G\rightarrow G'$ un morphisme de groupes. Alors $f$ induit un isomorphisme ${\widehat {f}}:G/\operatorname {Ker} f\rightarrow \operatorname {Im} f$ .

Une autre formulation possible du théorème précédent est que le morphisme $f$ se factorise par la surjection et l'injection canoniques, c'est-à-dire que le diagramme qui suit est commutatif.

Diagramme commutatif de la factorisation canonique d'un homomorphisme — Factorisation d'un morphisme.

Deuxième théorème d'isomorphisme[modifier | modifier le code]

Deuxième théorème d'isomorphisme^[2] — Soient $G$ un groupe, $N$ un sous-groupe normal de $G$ et $H$ un sous-groupe de $G$ . Alors $H\cap N$ est un sous-groupe normal de $H$ , et on a l'isomorphisme suivant :

H/(H\cap N)\simeq HN/N.

La conclusion de ce théorème reste vraie si l'on suppose seulement que le normalisateur de $N$ contient $H$ (au lieu de le supposer égal à $G$ tout entier).

Troisième théorème d'isomorphisme[modifier | modifier le code]

Troisième théorème d'isomorphisme^[3] — Soient $G$ un groupe et $N$ et $M$ deux sous-groupes normaux de $G$ tels que $M$ soit inclus dans $N$ . Alors $N/M$ est un sous-groupe normal de $G/M$ et on a l'isomorphisme suivant :