Théorème de Gauss-Lucas

En mathématiques, le théorème de Gauss-Lucas, ou théorème de Lucas, établit une propriété des polynômes complexes. Il énonce que les racines du polynôme dérivé sont situées dans l'enveloppe convexe de l'ensemble des racines du polynôme d'origine.

Ce résultat est évoqué de façon implicite en 1836 par Carl Friedrich Gauss^{[réf. nécessaire]}. Félix Lucas^{[note 1]} énonce et prouve ce résultat dans une communication à l'Académie des Sciences de 1879^[1].

Motivation[modifier | modifier le code]

Il est facile de remarquer que si $P (x) = ax 2 + bx + c = a (x - x 1)(x - x 2)$ est un polynôme du second degré, le zéro de $P'$ est la demi-somme des zéros de $P$ :

P'(x)=2ax+b=a(x-x_{1}+x-x_{2})=0\Longleftrightarrow x=-{\frac {b}{2a}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}.

Par ailleurs, si un polynôme de degré $n$ à coefficients réels admet $n$ zéros réels distincts $x 1 < x 2 < ... < x n$ , on voit en utilisant le théorème de Rolle que les zéros du polynôme dérivé sont dans l'intervalle $[x 1, x n]$ .

Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation de cette propriété des polynômes.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit $P$ un polynôme non constant à coefficients complexes. Alors tout zéro de $P$ ' appartient à l'enveloppe convexe de l'ensemble des zéros de $P$ .

Preuve[modifier | modifier le code]

Soit $P(z)=c\prod _{i=1}^{r}(z-a_{i})^{n_{i}}$ la décomposition de $P$ en facteurs irréductibles : le complexe $c$ est le coefficient dominant du polynôme, les complexes $a i$ en sont les zéros distincts, les entiers $n i$ leurs multiplicités respectives.

On a alors^{[note 2]} :

{\frac {P^{\prime }(z)}{P(z)}}=\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{z-a_{i}}}

.

En particulier,

{\hbox{si}}\quad P^{\prime }(z)=0\quad {\hbox{et}}\quad P(z)\neq 0

,

\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{z-a_{i}}}=0\quad {\hbox{ou encore}}\quad \ \sum _{i=1}^{r}n_{i}{\frac {{\overline {z}}-{\overline {a_{i}}}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}=0,

ce qui s'écrit aussi

\left(\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}\right){\overline {z}}=\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}}{\vert z-a_{i}\vert ^{2}}}{\overline {a_{i}}}

.

En prenant les conjugués, on voit que $z$ est un barycentre à coefficients positifs des $a i$ .

Le cas où $z$ est aussi zéro de $P$ est évident.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

↑ Ne pas confondre avec Édouard Lucas.
↑ Voir Dérivée logarithmique.

Références[modifier | modifier le code]

↑ Félix Lucas, « Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations », C.R. Hebd. Séances Acad. Sci. LXXXIX, 1879, p. 224-226, [lire en ligne].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Paul Erdős et Ivan Niven, « On the roots of a polynomial and its derivative », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 54,‎ 1948, p. 184-190 (lire en ligne)

Portail de l'analyse

[1] Ne pas confondre avec Édouard Lucas.

[3] Voir Dérivée logarithmique.

[2] Félix Lucas, « Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations », C.R. Hebd. Séances Acad. Sci. LXXXIX, 1879, p. 224-226, [lire en ligne].

[note 1]

[1]

[note 2]

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