Ellipse de sûreté

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En balistique extérieure, pour des distances importantes du projectile, la notion d'ellipse de sûreté généralise celle de parabole de sûreté.

Description[modifier | modifier le code]

On considère un modèle de Terre sphérique de centre T et une base B de lancement. On pose $TB = R$ .

Un projectile balistique P est lancé de B avec la vitesse $V 0$ faisant l'angle $\alpha$ avec la verticale TB. Le module de $V 0$ est inférieur à la vitesse de libération ( $\sqrt 2 gR = 11,2 km/s$ sur Terre).

Lancé verticalement ( $\alpha =0$ ), B atteint au maximum le point H d'altitude $z'$ telle que $1/z'=1/z-1/R$ avec $z={\tfrac {V_{0}^{2}}{2g}}$ ). Quand la hausse du canon varie, des points restent donc hors de portée : ils sont en sûreté en dehors d'une courbe (C), appelée de ce fait courbe de sûreté.

Cette courbe (C) est l'ellipse de foyers B et T, passant par H, ce qui définit entièrement (C).

Démonstration

Lieu des points de Torricelli :

Soit une trajectoire issue de B : d'après les lois de Kepler, c'est une ellipse de foyer T, de grand axe donné ( $2a=-GMm/E_{0}$ avec $E_{0}=1/2mV^{2}-GMm/r$ ). Le deuxième foyer, F, de cette ellipse se trouve donc à la distance $BF = 2 a - R$ , sur la demi-droite issue de B faisant l'angle $2\alpha$ avec la verticale.
Par ailleurs soit C, le point de Torricelli, tel que le segment BC soit corde focale : $CF + CT = 2 a$ ; donc $CB + CT = 4 a - R (= HB+HT)$ .
Quand la hausse du canon varie, la trajectoire varie, et l'ensemble des points C décrit la courbe (C) telle que : $CB+CT = cste$ , c'est donc une ellipse, et c'est l'ellipse indiquée.

Montrons maintenant qu'une trajectoire (T) est tangente à la courbe (C) en C.

Soit un point P intérieur à cette courbe : pour déterminer comment l'atteindre depuis B, il faut et il suffit de déterminer la position du deuxième foyer F : PF = 2a- PT est connu, donc F se trouve sur le cercle de centre P et rayon $2 a - PT$ ; mais par ailleurs, ce foyer se trouve à la distance $2 a - R$ de B : donc à l'intersection des deux cercles ${P, 2 a - PT}$ et ${B, 2 a - R}$ : il y a donc deux possibilités : la trajectoire tendue et la trajectoire de mortier.
La situation limite est celle où les deux cercles sont tangents : BFP sont en ligne droite ; il n'y a plus qu'une solution double ; donc BP est corde focale ; P est en C : C est ainsi le point de contact (de tangence en fait) de la trajectoire avec la courbe de sûreté (C).

Vitesses cosmiques[modifier | modifier le code]

En particulier, dès que $V 0$ dépasse $\sqrt gR$ (= 8,2 km/s sur Terre), l'ellipse (C) enclot la Terre entière : cette vitesse critique, annonciatrice de la guerre froide et de ses missiles balistiques intercontinentaux, fut redoutée dès la fin de la Seconde Guerre mondiale et fut appelée première vitesse cosmique ; la vitesse de libération s'appelle deuxième vitesse cosmique. La vitesse de libération du Système Solaire s'appelle la troisième vitesse cosmique (environ 17 km/s pour le Système solaire).