Inégalité de Schur

En mathématiques, l’inégalité de Schur, portant le nom du mathématicien Issaï Schur, est une inégalité concernant les nombres réels.

Énoncé

Soit $a,b,c$ des nombres réels strictement positifs et $\lambda$ un réel quelconque, alors :

$A=a^{\lambda }(a-b)(a-c)+b^{\lambda }(b-c)(b-a)+c^{\lambda }(c-a)(c-b)\geqslant 0.$

avec égalité si et seulement si $a,b,c$ sont égaux.

Démonstration

Quitte à permuter les variables, on peut supposer $c\leqslant b\leqslant a$.

• Si $\lambda \geqslant 0$ :

${\begin{cases}A=(a-b)\left(a^{\lambda }(a-c)-b^{\lambda }(b-c)\right)+c^{\lambda }(a-c)(b-c)\geqslant (a-b)\left(a^{\lambda }(a-c)-b^{\lambda }(a-c)\right)+c^{\lambda }(a-c)(b-c)\\A\geqslant (a-b)(a-c)(a^{\lambda }-b^{\lambda })+c^{\lambda }(a-c)(b-c)\geqslant (a-b)(a-c)(a^{\lambda }-b^{\lambda })\geqslant 0.\end{cases}}$

Le cas d'égalité s'obtient bien pour $a=b=c$.

• Si $\lambda <0$ :

${\begin{cases}A=a^{\lambda }(a-b)(a-c)+(b-c)\left((a-c)c^{\lambda }-(a-b)b^{\lambda }\right)\\A\geqslant (b-c)(a-c)(c^{\lambda }-b^{\lambda })\geqslant 0.\end{cases}}$

Le cas d'égalité s'obtient aussi pour $a=b=c$.

Cas particulier

Dans le cas $\lambda =1$, l'inégalité de Schur se réécrit sous les formes suivantes :

• $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$ (développer $A$)
• $abc\geqslant (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$
• $9abc+(a+b+c)^{3}\geqslant 4(ab+bc+ca)(a+b+c)$

La deuxième forme, dans le cas où $a,b,c$ sont les longueurs des côtés d'un triangle, s'écrit, compte tenu de la formule de Héron : $16S^{2}\leqslant abc(a+b+c)$ où $S$ est l'aire du triangle.

Et compte tenu des expressions des formules des rayons $R,r$ des cercles circonscrit et inscrit : $R={\frac {abc}{4S}}$ et $r={\frac {2S}{a+b+c}}$, l'inégalité de Schur est donc équivalente à l'inégalité d'Euler : $R\geqslant 2r$.