Критерий Колмогорова

В статистике критерий согласия Колмогорова (также известный, как критерий согласия Колмогорова-Смирнова) используется для того, чтобы определить, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо определить, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели.

Критерий Колмогорова-Смирнова о проверке гипотезы об однородности двух эмпирических законов распределения является одним из основных и наиболее широко используемых непараметрических методов, так как достаточно чувствителен к различиям в исследуемых выборках.

Статистика

Эмпирическая функция распределения (ЭФР) $F_n\!$ случайной величины $\xi\!$, построенная по выборке $X=\left(X_1,\ldots,X_n \right):\xi, \quad X_i \in \mathbb{X}\!$, имеет вид:

$F_n(x)={1 \over n}\sum_{i=1}^n I_{X_i\leq x}\!$

где $I_{X_i\leq x}\!$ указывает, попало ли наблюдение X_i в область $(-\infty,\;x]\!$:

$I_{X_i\leq x}=\left\{ \begin{array}{cc} 1 & , X_i\leq x \\ 0 & ,X_i>x \end{array} \right.\!$

Статистика критерия для эмпирической функции распределения $F_n(x)\!$ определяется следующим образом:

$D_n=\sup_x |F_n(x)-F(x)|,\!$

где $\sup S\!$ — точная верхняя грань множества $S={|F_n(x)-F(x)|}\!$.

Критерий

Обозначим нулевую гипотезу $H_0\!$, как гипотезу о том, что выборка подчиняется распределению $F(X)\in \mathrm{C}^1(\mathbb{X})\!$. Тогда по теореме Колмогорова для введённой статистики справедливо:

$\forall t>0: \quad \lim_{n \to \infty}P(\sqrt{n} D_n \leq t)=K(t)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}(-1)^j \mathrm{e}^{-2j^2t^2}\!$

Учтём, что критерий имеет правостороннюю критическую область.

Правило (параметрический критерий Колмогорова). Если статистика $\sqrt{n}D_n\!$ превышает квантиль распределения Колмогорова $K_{\alpha}\!$ заданного уровня значимости $\alpha\!$, то нулевая гипотеза $H_0\!$ (о соответствии закону $F(x)\!$) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне $\alpha\!$.

Если $n\!$ достаточно велико, то $K_{\alpha}\!$ можно приблизительно рассчитать по формуле:

$K_\alpha \approx \sqrt{-\frac{\ln{\frac{\alpha}{2}}}{2}}.\!$

Асимптотическая мощность критерия равна 1.

---

Обозначим теперь за нулевую гипотезу $H_0\!$ гипотезу о том, что две исследуемые выборки подчиняются одному распределению случайной величины $\xi \quad F(X)\in \mathrm{C}^1(\mathbb{X})\!$.

Теорема Смирнова. Пусть $F_{1,n}(x),\; F_{2,m}(x)\!$ — эмпирические функции распределения, построенные по независимым выборкам объёмом n и m случайной величины ξ. Тогда, если $F(x)\in \mathrm{C}^1(\mathbb{X})$, то $\forall t>0: \quad \lim_{n,m \to \infty}P(\sqrt{\frac{nm}{n+m}} D_{n,m} \leq t)=K(t)=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}(-1)^j \mathrm{e}^{-2j^2t^2}$, где $D_{n,m}=\sup_x|F_{1,n}-F_{2,m}|$.

Теорема Смирнова позволяет использовать данный критерий для проверки двух выборок на однородность.

Правило (непараметрический критерий Колмогорова). Если статистика $\sqrt{\frac{nm}{n+m}}D_{n,m}\!$ превышает квантиль распределения Колмогорова $K_{\alpha}\!$ заданного уровня значимости $\alpha\!$, то нулевая гипотеза $H_0\!$ (об однородности выборок) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне $\alpha\!$.

См. также

• Проверка статистических гипотез
• Статистический критерий
  • Q-критерий Розенбаума
  • U-критерий Манна-Уитни
  • t-критерий Стьюдента
  • Критерий отношения правдоподобия
  • Критерий Пирсона

Ссылки

• Критерий Колмогорова на сайте Новосибирского государственного университета
• Об ошибках, совершаемых при использовании непараметрических критериев согласия
• Непараметрические критерии согласия (Рекомендации Р 50.1.037-2002 на сайте Новосибирского государственного технического университета)
• Критерий однородности Смирнова на сайте Новосибирского государственного технического университета