Прямая сумма

Символ $\oplus \!$ означает взятие прямой суммы; это также символ Земли в астрономии и астрологии и символ операции исключающее «или».

Прямая сумма — производный математический объект, создаваемый по определённым ниже правилам из базовых объектов. В качестве базовых чаще всего выступают векторные пространства или абелевы группы. Существует также обобщение данной конструкции для банаховых и гильбертовых пространств.

Прямая сумма подпространств

Говорят, что линейное пространство $X$ есть прямая сумма своих подпространств $M_1,\dots,M_n$:

$X = M_1 \oplus\dots\oplus M_n,$

если каждый вектор $x\in X$ представляется в виде суммы

$x=m_1+\dots+m_n, \quad m_i\in M_i, \quad (*)$

и притом единственным образом.

Комментарий

Последнее условие («единственным образом») весьма существенно, без него получается просто определение суммы подпространств (обозначается $X = M_1 +\dots+ M_n$). Из определения линейного пространства следует, что условие единственности разложения (*) для каждого вектора $x\in X$ равносильно условию единственности разложения (*) только для нулевого вектора (для $x=0$ в сумме (*) все слагаемые $m_i=0$).

Критерии прямой суммы

• Каждый вектор $x\in X$ раскладывается в сумму (*), причём $\dim X = \dim M_1+\ldots+\dim M_n$ (Если $X$ конечномерно)
• Любая система из $m\leqslant n$ ненулевых векторов, принадлежащих различным подпространствам, линейно независима.
• Пересечение каждого из подпространств $M_i$ с суммой остальных есть нулевое пространство (пространство, состоящее только из нулевого вектора).
• Если линейное пространство $X$ обладает базисом, то объединение базисов подпространств $M_i\;(i=1,\dots,n$) есть базис в $X$.
• Каждый элемент $f$ гильбертова пространства $X$ может быть представлен в виде (*), причём если число подпространств $n$ бесконечно, то $\sum\limits_n {\left\| {m_n } \right\|^2 }$ — сходящийся ряд.
• Пусть гильбертово пространство $X$ разлагается в прямую сумму $X=M\oplus N$, тогда сопряженное пространство $X^*$ также распадается в прямую сумму $X^*=M^*\oplus N^*$, причём $\forall f\in M^*, f(N)=0$ и $\forall\phi\in N^*, \phi(M)=0$.

Примеры

• Трёхмерное линейное пространство является прямой суммой плоскости и любой прямой, не лежащей в этой плоскости, но пересекающей её, а также прямой суммой любых трёх попарно различных, не параллельных прямых. Трёхмерное линейное пространство является суммой двух несовпадающих плоскостей, но не является их прямой суммой, так как пересечение плоскостей дает прямую (нулевой вектор может быть представлен бесконечным числом способов: $0=m_1+m_2$, где $m_1$ и $m_2$ — противоположные векторы на этой прямой).

• Пространство многочленов степени $n$ (от любого числа переменных) представимо в виде прямой суммы $M_0 \oplus M_1 \oplus \cdots \oplus M_n,$ где $M_i$ — подпространство однородных многочленов степени $i$. Если в определении $M_i$ убрать условие однородности, то сумма перестанет быть прямой.

Прямая сумма пространств

Понятие прямой суммы $X = M_1 \oplus\dots\oplus M_n$ распространяется на случай, когда $M_1,\dots,M_n$ изначально не являются подпространствами какого-либо одного объемлющего линейного пространства.

Определим $X$ как декартово произведение $X = M_1 \times \dots \times M_n$ и определим в нём операции линейного пространства с помощью формул

$(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n) = (x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n), \quad \alpha (x_1,\ldots,x_n) = (\alpha x_1,\ldots,\alpha x_n), \quad x_i,y_i \in M_i.$

Тогда $X$ является линейным пространством, содержащим подпространства $M_1,\dots,M_n.$ Согласно построению, каждый вектор $x\in X$ однозначно представим в виде $x=m_1+\dots+m_n,$ $m_i\in M_i,$ следовательно, $X = M_1 \oplus\dots\oplus M_n.$

Прямая сумма абелевых групп

Говорят, что абелева группа $G$ есть прямая сумма своих подгрупп $H_1,\dots,H_n$:

$G = H_1 \oplus\dots\oplus H_n,$

если каждый элемент $g\in G$ представляется в виде суммы

$g=h_1+\dots+h_n, \quad h_i\in H_i, \quad (*)$

и притом единственным образом. Условие единственности разложения (*) для каждого элемента $g\in G$ равносильно условию единственности разложения (*) только для нулевого элемента $\,g=0$.

Пусть $H_1, \ldots, H_n$ — абелевы группы (с операцией $+\,$). Определим множество $X$ как декартово произведение $X = H_1 \times \dots \times H_n$ и определим в нём групповую операцию с помощью формулы

$(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n) = (x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n), \quad x_i,y_i \in H_i.$

Тогда $X$ является абелевой группой, содержащей подгруппы $H_1,\dots, H_n.$ Это обозначается: $X = H_1 \oplus\dots\oplus H_n.$ Согласно построению, каждый элемент $g\in X$ однозначно представим в виде (*). Противоположным (обратным) элементом к $g \in X$ является элемент $-g=(-h_1)+\dots+(-h_n).$ Нейтральным (нулевым) элементом группы $X$ является элемент $0=0_1+\dots+0_n,$ где $0_i\,$ — нейтральный элемент группы $\,H_i.$

Если группы $H_1, \ldots, H_n$ конечные, то группа $G = H_1 \oplus\dots\oplus H_n,$ тоже конечная, и её порядок (число элементов) равно произведению порядков групп $H_1, \ldots, H_n$.

См. также

• Прямое произведение
• Тензорное произведение
• Прямая сумма представлений

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре, — М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре, — М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.