Пифагорейский строй

Пифагорейский строй, Пифагоров строй — сформулированный в соответствии с математическими расчётами интервальных величин, свойственными пифагорейской школе гармоники, способ построения отношений между звуками определённой высоты. Со времён поздней античности (Никомах, Ямвлих, Боэций и др.) приписывался Пифагору. Абстрактно-математическое представление о пифагоровом строе (как квинтовой цепи) сложилось в эпоху западноевропейского барокко.

Обычно представляется в виде последовательности квинт (или кварт), например, так (цепь из 6 квинт от звука фа):

F — C — G — D — A — E — H

или в виде диатонической гаммы:

C		D		E		F		G		A		H		C
1		9/8		81/64		4/3		3/2		27/16		243/128		2
	Целый тон		Целый тон		Лимма		Целый тон		Целый тон		Целый тон		Лимма
	8 : 9		8 : 9		243 : 256		8 : 9		8 : 9		8 : 9		243 : 256
	203,91 ц		203,91 ц		90,22 ц		203,91 ц		203,91 ц		203,91 ц		90,22 ц

В западной музыке пифагорейскому строю приписывается роль основы не только для античной монодии, но также и для полифонической музыки Средневековья. Музыкальные теоретики всё ещё продолжают описывать интервалы опираясь на пифагорейский строй^{[источник не указан 63 дня]}, хотя певческая, а затем инструментальная многоголосная тональная музыка не позже XVI века начала осваивать чистый строй. В сравнении с последним, пифагорейский является октавно-квинтовым строем, порождаемым натуральными интервалами чистой октавы (1:2) и чистой квинты (2:3)^[1]. У всех занятых в интервальных соотношениях пифагорейского строя чисел факторизации основаны на простых числах величиной не более 3-х. По этой причине, преимущественно в англоязычной среде, пифагорейский строй ещё называют настройка предела 3 (англ. 3-limit tuning).

Таблица интервалов пифагорова строя

В следующей таблице показаны интервалы пифагорова строя, не превосходящие октаву, и получаемые не более чем 18-ю квинтовыми шагами. Диатонические интервалы (то есть возникающие в пифагоровой 7-ступенной диатонике и получаемые не более чем 6 квинтовыми шагами) выделены жирным шрифтом. Обычным шрифтом отмечены хроматические интервалы (возникающие, наряду с диатоническими интервалами, в 12-ступенном пифагоровом октавном звукоряде, и получаемые 7—11-ю квинтовыми шагами). Остальные, «дихроматические» (или «энармонические»), интервалы, получаемые 12—18 квинтовыми шагами, выделены курсивом. Эти последние (за исключением пифагоровой коммы, соответствующей увеличенной септиме без октавы, и уменьшённой ноны) соответствуют дважды увеличенным и уменьшенным интервалам диатоники.

Сокращения: «м.» — малая; «б.» — большая; «ум.» — уменьшённая; «ув.» — увеличенная.

В колонках Q и O таблицы показаны соответственно количества квинт и октав, откладыванием которых получается данный интервал (при этом положительным числам соответствует откладывание вверх, а отрицательным — вниз). Например, уменьшённой септиме соответствуют значения Q = −9 и O = 6, то есть уменьшенная септима получается откладыванием от данного звука (высоты) 9-ти квинт вниз и 6 октав вверх; таким образом, она имеет отношение частот звуков, равное

$\left(\frac32\right)^{-9}\times\left(\frac21\right)^6=2^{15}\cdot 3^{-9}=\frac{32768}{19683}.$

При этом число О (для интервалов, меньших октавы) однозначно определяется числом Q, находясь от него в функциональной зависимости, определяемой формулой:

$\mathrm{O}=-\lfloor\mathrm{Q}\times(\log_2{3}-1)\rfloor,$

где $\lfloor x\rfloor$ — целая часть числа $x$^[2].

Далее, каждый из интервалов, указанных в таблице, однозначно представляется как сложенный из T целых тонов (указанных в колонке T), L лимм (колонка L) и K пифагоровых комм (колонка K), при ограничениях

$0\leqslant T\leqslant 6,\qquad 0\leqslant L \leqslant 1, \qquad -2\leqslant K\leqslant 1$.

Как видно из таблицы, для диатонических интервалов имеет место одно из трёх пар равенств: $L=0$ и $K=0$, либо $L=1$ и $K=0$, либо $L=0$ и $K={-1}$ (то есть диатонический интервал всегда равен либо целому числу тонов, либо целому числу тонов с прибавленной лиммой, либо меньше целого числа тонов на пифагорову комму). Для хроматических интервалов, сверх того, могут иметь место соотношения $L=1$ и $K=1$, либо $L=1$ и $K={-1}$, а «дихроматических» (выделенных курсивом) — также $L=0$ и $K=1$, либо $L=0$ и $K={-2}$.

Название	Q	O	T	L	K	Отношение	Величина в центах	Ступень от c	Дополнительные примеры
унисон, прима	0	0	0	0	0	1:1	0,00	c
пифагорова комма (ув. септима без октавы)[3]	12	-7	0	0	1	531441:524288	23,46	His	des—cis, fes—e, a—gisis
дважды ум. терция	-17	10	0	1	-1	134217728:129140163	66,76	eseses[4]	cis—eses, eis—ges
лимма, м. секунда, меньший (диатонический) полутон	-5	3	0	1	0	256:243	90,22	des	e—f, cis—d, des—eses
апотома, ув. прима, больший (хроматический) полутон	7	-4	0	1	1	2187:2048	113,69	cis	cis—cisis, des—d, eses—es
ум. терция	-10	6	1	0	-1	65536:59049	180,45	eses	cis—es, e—ges
целый тон, б. секунда	2	-1	1	0	0	9:8	203,91	d	d—e, e—fis, B—c, des—es, cis—dis
дважды ув. прима	14	-8	1	0	1	4782969:4194304	227,37	cisis	ces—cis, deses—d
дважды ум. кварта	-15	9	1	1	-1	16777216:14348907	270,67	feses	cis—fes, fis-b, cisis—f
полудитон, м. терция	-3	2	1	1	0	32:27	294,13	es	d—f, es—ges
ув. секунда	9	-5	1	1	1	19683:16384	317,60	dis	des—e, es—fis
ум. кварта	-8	5	2	0	-1	8192:6561	384,36	fes	cis—f, fis—b, dis—ges
дитон, б. терция	4	-2	2	0	0	81:64	407,82	e	d—fis, eis-gisis
дважды ув. секунда	16	-9	2	0	1	43046721:33554432	431,28	disis	ces—dis, es—fisis
дважды ум. квинта	-13	8	2	1	-1	2097152:1594323	474,58	geses	cis—ges, disis—a
кварта	-1	1	2	1	0	4:3	498,04	f	d—g, ces—fes
ув. терция	11	-6	2	1	1	177147:131072	521,51	eis	des—fis, deses—f
дважды ум. секста	-18	11	3	0	-2	536870912:387420489	564,81	aseses[4]	cisis—as, cis—ases
ум. квинта (комматический тритон[5])	-6	4	3	0	-1	1024:729	588,27	ges	cis—g, H—f, e—b
тритон, ув. кварта	6	-3	3	0	0	729:512	611,73	fis	f—b, des—g
дважды ув. терция	18	-10	3	0	1	387420489:268435456	635,19	eisis	des—fisis, eses—gis
ум. секста («волчья квинта» пифагорова строя)	-11	7	3	1	-1	262144:177147	678,49	ases	cis—as, Gis—es
квинта	1	0	3	1	0	3:2	701,96	g	d—a, dis—ais
дважды ув. кварта	13	-7	3	1	1	1594323:1048576	725,42	fisis	des—gis, deses—a
дважды ум. септима	-16	10	4	0	-2	67108864:43046721	768,72	heseses[4]	cis—heses, cisis—b
м. секста	-4	3	4	0	-1	128:81	792,18	as	d—b, dis-h
ув. квинта (тетратон)	8	-4	4	0	0	6561:4096	815,64	gis	des—a, eses—b
ум. септима	-9	6	4	1	-1	32768:19683	882,40	heses	cis—b, Gis—f
б. секста	3	-1	4	1	0	27:16	905,87	a	d—h, Es—c
дважды ув. квинта	15	-8	4	1	1	14348907:8388608	929,33	gisis	des—ais, deses—a
дважды ум. октава	-14	9	5	0	-2	8388608:4782969	972,63	ceses1	Dis—des, Disis—d
м. септима	-2	2	5	0	-1	16:9	996,09	b	G—f, Des—ces
ув. секста (пентатон)	10	-5	5	0	0	59049:32768	1019,55	ais	des—h, deses—b
ум. октава	-7	5	5	1	-1	4096:2187	1086,31	ces1	Cis—c, Des—deses
б. септима	5	-2	5	1	0	243:128	1109,78	h	cis—his
дважды ув. секста	17	-9	5	1	1	129140163:67108864	1133,24	aisis	ces—ais, Eses—cis
ум. нона	-12	8	6	0	-2	1048576:531441	1176,54	deses1	Dis—es, Eis—f
октава	0	1	6	0	-1	2:1	1200,00	c1

См.также

• Звуковая система
• Квинтовый круг

Ссылки

• Margo Schulter. Pythagorean Tuning and Medieval Polyphony
• Интервальные таблицы Гуго Римана

Примечания

1. ↑ Натуральные интервалы, или интервалы натурального звукоряда между 1-м и 2-м, 2-м и 3-м обертонами обозначены соотношениями 1:2 и 2:3 соответственно
2. ↑ Указанная формула получается логарифмированием неравенства $1\leqslant\left(\frac32\right)^{\mathrm Q}\cdot 2^{\mathrm O} < 2$, однозначно определяющего зависимость величины O от величины Q.
3. ↑ Увеличенная септима пифагорова строя (например, c—his) шире октавы (c—c¹) на пифагорову комму.
4. ↑ ^{1 2 3} Орфография буквенного обозначения ступени, отстоящей от с на данный интервал (дважды уменьшенная терция, секста или септима) требует указания «тройного бемоля» (-eseses), обозначающего понижение соответствующей диатонической ступени (в данном случае соответственно e, a и h) на три хроматических полутона; примеры тех же интервалов между другими ступенями, не требующими «тройных знаков альтерации», см. в колонке «Дополнительные примеры».
5. ↑ То есть тритон, уменьшенный на (пифагорову) комму.