Изоморфизм (матем.)

Изоморфизм (матем.)

Изоморфи́зм — это очень общее понятие, которое употребляется в различных разделах математики. В общих чертах его можно описать так: Пусть даны два множества с определённой структурой (группы, кольца, линейные пространства и т. п.). Биекция между ними называется изоморфизмом, если она сохраняет эту структуру. Такие множества со структурой называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких множеств со структурой.

Объекты, между которыми существует изоморфизм, являются в определённом смысле «одинаково устроенными», они называются изоморфными. Классическим примером изоморфных систем могут служить множество \mathbb R всех вещественных чисел с определённой на нём операцией сложения и множество \mathbb R_+ положительных вещественных чисел с заданной на нём операцией умножения. Отображение x\mapsto \exp(x) в этом случае является изоморфизмом.

Содержание

Абстрактная алгебра

В абстрактной алгебре изоморфизмом называется биекция, которая является гомоморфизмом.

Группы

Пусть G\! и H\! суть две группы. Биекция f:G\to H называется изоморфизмом, если для любых a,\;b\in G

f(a)\cdot f(b)=f(a\cdot b).

Если группа является топологической, добавляется условие гомеоморфности соответствующих топологических пространств.[1]

Теория категорий

В теории категорий изоморфизм есть обратимый морфизм, то есть морфизм \varphi\!, для которого существует такой морфизм \varphi^{-1}\!, что произведения \varphi^{-1}\circ\varphi и \varphi\circ\varphi^{-1} — тождественные морфизмы.

Теория операторов/Функциональный анализ

Ограниченный линейный оператор T между нормированными пространствами называется изоморфизмом, если существует положительное вещественное число c такое, что \lVert Tx\rVert\geqslant c\lVert x\rVert для всех векторов x. Любой изоморфизм является взаимно-однозначным. Легко видеть, что T является изоморфизмом тогда и только тогда, когда T обратим на своем образе, и обратный оператор ограничен. Говорят, что два нормированных пространства являются изоморфными, если найдется сюръективный изоморфизм из одного из них на другое.

Теория графов

Граф G называется изоморфным графу H, если существует биекция f из множества вершин графа G в множество вершин графа H, обладающая следующим свойством: если в графе G есть ребро из вершины A в вершину B, то в графе H должно быть ребро из вершины f(A) в вершину f(B) и наоборот — если в графе H есть ребро из вершины A в вершину B, то в графе G должно быть ребро из вершины f − 1(A) в вершину f − 1(B). В случае ориентированного графа эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае взвешенного графа биекция также должна сохранять вес ребра.

В теории вычислительной сложности до сих пор является открытым вопрос о сложности задачи изоморфности графов. На данный момент не доказана ни её принадлежность классу P, ни её NP-полнота.

Связанные определения

Изоморфизм алгебраической системы на себя называется автоморфизмом.

История

Понятие изоморфизма возникло в математике применительно к конкретным алгебраическим системам (прежде всего к группам) и было естественным образом распространено на более широкий класс математических структур.

См. также

Примечания

  1. Л.С. Понтрягин Непрерывные группы стр. 392

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Изоморфизм (матем.)" в других словарях:

  • Изоморфизм (матем.) — Изоморфизм, одно из основных понятий современной математики, возникшее сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим образованиям, как группы, кольца, поля и т. п., но оказавшееся весьма существенным для общего понимания строения …   Большая советская энциклопедия

  • ИЗОМОРФИЗМ — (от греч. isos – равный, однозначный и morphe – форма) понятие, выражающее тождественность, идентичность форм. В психологии идентичность (теоретическая) между гештальтами в переживании непосредственно созерцаемого и в процессах, совершающихся в… …   Философская энциклопедия

  • МЕТРИЧЕСКИЙ ИЗОМОРФИЗМ — пространств с мерой и биективное отображение при к ром образы и прообразы измеримых множеств измеримы и имеют ту же меру (здесь нек рая булева алгебра или кольцо подмножеств пространства , называемых измеримыми, а заданная на мера). Волее общее… …   Математическая энциклопедия

  • ПУАНКАРЕ ДВОЙСТВЕННОСТЬ — изоморфизм р мерных групп (модулей) гомологии re мерного многообразия М(в том числе обобщенного) с коэффициентами в локально постоянной системе групп (модулей), изоморфных G, ( п р ) мерным когомологиям Мс коэффициентами в ориентирующем пучке над …   Математическая энциклопедия

  • Автоморфизм — (матем.)         см. в статье Изоморфизм (в математике) …   Большая советская энциклопедия

  • Отображение — (матем.)         множества А в множество В, соответствие, в силу которого каждому элементу х множества А соответствует определённый элемент у = f (x) множества В, называют образом элемента х (элемент х называют прообразом элемента у). Иногда под… …   Большая советская энциклопедия

  • ДВОЙСТВЕННОСТЬ — 1) Д. в алгебраической геометрии двойственность между различными пространствами когомологий на алгебраич. многообразиях. Когомологий когерентных пучков. Пусть X неособое проективное алгебраич. многообразие размерности nнад алгебраически замкнутым …   Математическая энциклопедия

  • КОС ТЕОРИЯ — раздел топологии и алгебры, изучающий косы и группы, составленные из их классов эквивалентности, и различные обобщения этих групп [1]. Коса из пнитей объект, состоящий из двух параллельных плоскостей Р 0 и Р 1 в трехмерном пространстве R3,… …   Математическая энциклопедия

  • ГРУППА — множество, на к ром определена операция, наз. умножением и удовлетворяющая спец. условиям (групповым аксиомам): в Г. существует единичный элемент; для каждого элемента Г. существует обратный; операция умножения ассоциативна. Понятие Г. возникло… …   Физическая энциклопедия

  • ПОНТРЯГИНА ДВОЙСТВЕННОСТЬ — 1) П. д. двойственность между абелевыми топологич. группами и их характеров группами. Теорема двойственности утверждает, что если G локально компактная абелева группа и X(G) ее группа характеров, то естественный гомоморфизм , переводящий в… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»