- Изогональное сопряжение
-
Изогона́льное сопряже́ние — геометрическое преобразование.
Содержание
Определение
Точки P и Q называются изогонально сопряжёнными (устаревшие названия — изогональными, обратными[1]) (в треугольнике ABC), если , , . Корректность данного определения можно доказать через теорему Чевы в синусной форме, существует и чисто геометрическое доказательство корректности этого определения. Изогональное сопряжение — преобразование, ставящее точке в соответствие изогонально сопряжённую ей. На всей плоскости за исключением прямых, содержащих стороны треугольника, изогональное сопряжение является взаимно-однозначным отображением.
Свойства изогонального сопряжения
- Изогональное сопряжение оставляет на месте только центры вписанной и вневписанных окружностей.
- Точка, изогонально сопряжённая точке на описанной окружности — бесконечно удалённая. Направление, задаваемое этой точкой, перпендикулярно прямой Симсона исходной точки.
- Если точки , , симметричны точке относительно сторон треугольника, то центр описанной окружности изогонально сопряжён точке .
- Если в треугольник вписан эллипс, то его фокусы изогонально сопряжены.
- Проекции изогонально сопряжённых точек на стороны лежат на одной окружности (верно и обратное).
- Образ прямой при изогональном сопряжении — коника, описанная около треугольника. В частности, изогонально сопряжены бесконечно удалённая прямая и описанная окружность, прямая Эйлера и гипербола Енжабека, ось Брокара и гипербола Киперта, линия центров вписанной и описанной окружности и гипербола Фейербаха.
- Если коника изогонально сопряжена прямой , то трилинейные поляры всех точек на будут проходить через точку, изогонально сопряжённую трилинейному полюсу .
Пары изогонально сопряжённых точек
- Центр описанной окружности и ортоцентр.
- Точка пересечения медиан и точка Лемуана.
- Точка Жергонна и центр отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
- Точка Нагеля и центр положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
- Точки Брока́ра
- Точка Аполлония и точка Торричелли.
Координатная запись
В барицентрических координатах изогональное сопряжение записывается как , где , , — длины сторон треугольника. В трилинейных координатах его запись имеет форму , поэтому они удобны при работе с изогональным сопряжением. В других координатах запись изогонального сопряжения более громоздка.
Вариации и обобщения
Аналогично можно определить изогональное сопряжение относительно многоугольника. Фокусы эллипсов, вписанных в многоугольник, также будут изогонально сопряжены. Однако не для всех точек изогонально сопряжённая точка будет определена: так, в четырёхугольнике геометрическое место точек, для которых изогональное сопряжение определено, есть некоторая кривая третьего порядка; для пятиугольника будет существовать лишь одна пара изогонально сопряжённых точек (фокусы единственного вписанного в него эллипса), а в многоугольниках с бо́льшим числом вершин в общем случае изогонально сопряжённых точек не будет.
Можно определить также изогональное сопряжение в тетраэдре, в трилинейных координатах оно будет записваться аналогично плоскому изогональному сопряжению.[2]
Следствия
- Из изогонального сопряжения можно вывести теорему Паскаля.
Примечания
- ↑ Д. Ефремов. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902
- ↑ Изогональное сопряжение в тетраэдре и его гранях
Категория:- Преобразования
Wikimedia Foundation. 2010.