Изогональное сопряжение

Точки $P$ и $P*$ изогонально сопряжены

Преобразование над точками внутри треугольника

Изогона́льное сопряже́ние — геометрическое преобразование.

Определение

Точки P и Q называются изогонально сопряжёнными (устаревшие названия — изогональными, обратными^[1]) (в треугольнике ABC), если $\angle ABP = \angle CBQ$, $\angle BAP = \angle CAQ$, $\angle BCP = \angle ACQ$. Корректность данного определения можно доказать через теорему Чевы в синусной форме, существует и чисто геометрическое доказательство корректности этого определения. Изогональное сопряжение — преобразование, ставящее точке в соответствие изогонально сопряжённую ей. На всей плоскости за исключением прямых, содержащих стороны треугольника, изогональное сопряжение является взаимно-однозначным отображением.

Свойства изогонального сопряжения

• Изогональное сопряжение оставляет на месте только центры вписанной и вневписанных окружностей.
• Точка, изогонально сопряжённая точке на описанной окружности — бесконечно удалённая. Направление, задаваемое этой точкой, перпендикулярно прямой Симсона исходной точки.
• Если точки $P_a$, $P_b$, $P_c$ симметричны точке $P$ относительно сторон треугольника, то центр описанной окружности $P_aP_bP_c$ изогонально сопряжён точке $P$.
• Если в треугольник вписан эллипс, то его фокусы изогонально сопряжены.
• Проекции изогонально сопряжённых точек на стороны лежат на одной окружности (верно и обратное).
• Образ прямой при изогональном сопряжении — коника, описанная около треугольника. В частности, изогонально сопряжены бесконечно удалённая прямая и описанная окружность, прямая Эйлера и гипербола Енжабека, ось Брокара и гипербола Киперта, линия центров вписанной и описанной окружности и гипербола Фейербаха.
• Если коника $\alpha$ изогонально сопряжена прямой $l$, то трилинейные поляры всех точек на $\alpha$ будут проходить через точку, изогонально сопряжённую трилинейному полюсу $l$.

Пары изогонально сопряжённых точек

• Центр описанной окружности и ортоцентр.
• Точка пересечения медиан и точка Лемуана.
• Точка Жергонна и центр отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
• Точка Нагеля и центр положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
• Точки Брока́ра
• Точка Аполлония и точка Торричелли.

Координатная запись

В барицентрических координатах изогональное сопряжение записывается как $(x:y:z)\ \mapsto \left(\frac{a^2}{x}:\frac{b^2}{y}:\frac{c^2}{z}\right)\,$, где $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника. В трилинейных координатах его запись имеет форму $(x:y:z)\ \mapsto (\frac{1}{x}:\frac{1}{y}:\frac{1}{z})$, поэтому они удобны при работе с изогональным сопряжением. В других координатах запись изогонального сопряжения более громоздка.

Вариации и обобщения

Аналогично можно определить изогональное сопряжение относительно многоугольника. Фокусы эллипсов, вписанных в многоугольник, также будут изогонально сопряжены. Однако не для всех точек изогонально сопряжённая точка будет определена: так, в четырёхугольнике геометрическое место точек, для которых изогональное сопряжение определено, есть некоторая кривая третьего порядка; для пятиугольника будет существовать лишь одна пара изогонально сопряжённых точек (фокусы единственного вписанного в него эллипса), а в многоугольниках с бо́льшим числом вершин в общем случае изогонально сопряжённых точек не будет.

Можно определить также изогональное сопряжение в тетраэдре, в трилинейных координатах оно будет записваться аналогично плоскому изогональному сопряжению.^[2]

Следствия

• Из изогонального сопряжения можно вывести теорему Паскаля.

Примечания

1. ↑ Д. Ефремов. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902
2. ↑ Изогональное сопряжение в тетраэдре и его гранях