Задача о 4 кубах

Задача о четырёх кубах́ заключается в отыскании всех целочисленных параметров диофантова уравнения.

x³ + y³ + z³ = w³

Примеры решений

3³ + 4³ + 5³ = 6³

− 1³ + 9³ + 10³ = 12³

16³ + 23³ + 41³ = 44³

Бесконечные серии решений

• Морделл 1956 г.

  x = 9a³b + b⁴

  y = 9a⁴

  z = − b⁴

  w = 9a⁴ + 3ab³

• Рамануджан

  x = 3a² + 5ab − 5b²

  y = 4a² − 4ab + 6b²

  z = 5a² − 5ab − 3b²

  w = 6a² − 4ab + 4b²

• Д. Лемер 1955 г.

  x = 3888a¹⁰ − 135a⁴

  y = − 3888a¹⁰ − 1296a⁷ − 81a⁴ + 3a

  z = 3888a⁹ + 648a⁶ − 9a³ + 1

  w = 1

Здесь a и b — любые целые числа.

• Г. Александров предложил следующие формулы, при помощи которых можно генерировать бесконечное количество выражений, подобных второму примеру (решение Рамануджана):

  $x=x_0(x_0+y_0)a^2+(w_0^2-z_0^2)ab-y_0(w_0-z_0)b^2$

  $y=y_0(x_0+y_0)a^2-(w_0^2-z_0^2)ab-x_0(w_0-z_0)b^2$

  $z=z_0(x_0+y_0)a^2-(y_0^2-x_0^2)ab+w_0(w_0-z_0)b^2$

  $w=w_0(x_0+y_0)a^2-(y_0^2-x_0^2)ab+z_0(w_0-z_0)b^2$

где x₀,y₀,z₀,w₀ - одно из известных целочисленных решений (например, x₀ = 4,y₀ = 17,z₀ = 22,w₀ = 25). Сам же рамануджановский вариант получится, если x₀ = 3,y₀ = 5,z₀ = 4,w₀ = 6.

Тем не менее, до сих пор не удалось выявить общие алгебраические зависимости, позволяющие вычислять полный ряд дискретных значений x , y , z , w - подобно тому, как это сделано для получения пифагоровых троек .

Литература

1. 1. Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. – Москва: Институт компьютерных исследований, 2002, 336 с.

Ссылки

• Все найденные частные решения задачи
• Решения Лемера и Морделла
• Решение Лабковского(Задание №2)
• Формула представления рационального числа через сумму трех кубов (выведена в 1825 г.)
• Г.Александров "Уравнение Эйлера"