Задача N тел

Гравитационная задача N тел формулируется следующим образом. В пустоте находится N материальных точек, взаимодействующих по закону тяготения Ньютона. В начальный момент времени заданы массы, положения и скорости. Требуется найти положения точек для всех последующих моментов времени.

Математическая формулировка гравитационной задачи N тел

Эволюция системы N гравитирующих тел (материальных точек) описывается следующей системой уравнений:

$\frac{d{\mathbf r}_i}{dt} = {\mathbf v}_i,$

$\frac{d{\mathbf v}_i}{dt} = \sum\limits_{j \neq i}^N G \, m_j \, \frac{{\mathbf r}_j - {\mathbf r}_i}{\left|{\mathbf r}_j - {\mathbf r}_i\right|^{3}},$

где $m_i,\, {\mathbf r}_i, \, {\mathbf v}_i$ — масса, радиус-вектор и скорость i-го тела соответственно (i изменяется от 1 до N), G — гравитационная постоянная. Массы тел, а также положения и скорости в начальный момент времени считаются известными. Необходимо найти положения и скорости всех частиц в произвольный момент времени.

Аналитическое решение

• При N=1 задача тривиальна, и фактически её решение описывается первым законом Ньютона.
• Решение задача двух тел N=2, было найдено Кеплером в 1609 (первые два) и 1619 (третий) году, они так же известны как «законы Кеплера», позже в 1665—1666 гг. Ньютон, стал заниматься проблемами тяготения и движения планет и к 1680 г. закончил создание своей теории, из которой следует справедливость законов Кеплера.
• Для задачи трёх тел в 1912 Карлом Зундманом было получено общее аналитическое решение в виде рядов. Хотя эти ряды и сходятся для любого момента времени, с любыми начальными условиями, но сходятся они крайне медленно. Из-за крайне медленной сходимости практическое использование рядов Зундмана невозможно. Кроме того известно только 5 точных решений задачи трех тел для специальных начальных скоростей и координат объектов.

• На данный момент, в общем виде, задача N тел для N>3 может быть решена только численно. Причем для N=3 ряды Зундмана даже при современном уровне компьютеров использовать практически невозможно.

Интегралы движения

Несмотря на кажущуюся простоту формул, аналитического решения данной задачи в общем виде для N>3 не существует. Как показал Генрих Брунс, задача многих тел имеет только 10 независимых алгебраических интегралов движения, которые были найдены в 18 веке и которых недостаточно для интегрирования задачи трех и более тел.^[1] Свои обобщения этой теоремы предложили Пенлеве и Пуанкаре. Пенлеве удалось отказаться от требования алгебраичности зависимости от координат, Пуанкаре же высказал гипотезу о том, что не существует нового однозначного интеграла (все классические интегралы, кроме интеграла энергии, являются однозначными функциями). Это последнее утверждение, по всей видимости, до сих пор строго не доказано в столь общей формулировке.

Приведем для справки комментарий В. М. Алексеева (1971 г.) к соответствующему пассажу в Небесной механике Пуанкаре^[2]:

Несуществование однозначного аналитического интеграла в задаче трех тел до сих пор не доказано с полной строгостью… Первое аккуратное доказательство неинтегрируемости гамильтоновой системы достаточно общего вида принадлежит Зигелю^[3]. Интересно отметить, что неаналитические интегралы в рассматриваемых задачах возможны; их существование вытекает из одной теоремы Колмогорова^[4]. Напротив, в случае, когда число переменных более двух, вероятнее всего, невозможен даже непрерывный интеграл^[5]

Численные методы

С появлением компьютерной техники появилась реальная возможность изучать свойства систем гравитирующих тел путём численного решения системы уравнений движения. Для этого используются чаще всего следующие численные методы:

• Метод Рунге — Кутты (обычно — четвёртого порядка, но часто используются и более высокие порядки).
• …

Численные методы сталкиваются с теми же проблемами, что и аналитические — при тесных сближениях тел необходимо уменьшать шаг интегрирования, а при этом быстро растут численные ошибки. Кроме того, при «прямом» интегрировании число вычислений силы растёт приблизительно как N², что делает практически невозможным моделирование систем, состоящих из десятков и сотен тысяч тел.

Для решения этой проблемы применяют следующие алгоритмы (или их комбинации):

• Схема Ахмада-Коэна — предлагает разделить силу, действующую на каждое тело, на 2 части — иррегулярную (от близких тел — «соседей») и регулярную (от более далеких тел).

Соответственно, регулярную силу можно перевычислять с гораздо большим шагом, чем иррегулярную.

• «Древесный алгоритм» (Treecode), впервые реализованный Джошуа Барнесом [1]

Литература

1. ↑ Bruns H. Uеber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. Bd. 11 (1887), p. 25-96. См. также: Уитекер. Аналитическая динамика.
2. ↑ См. также В. В. Козлов. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск, 1995.
3. ↑ Русск. перев.: Математика, 5, вып. 2, 1961, 129—155
4. ↑ Колмогоров А. Н. //ДАН, 1954, 48, № 4, 527—530; Арнольд В. И. //УМН, 1963, 18 , № 5—6
5. ↑ Арнольд В. И. // ДАН, 1964, 154, № 1, 9—12.