Линейная функция

Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

$y =kx+b$ (для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

График линейной функции является прямой линией, с чем и связано ее название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

• Частный случай $~b=0$ линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от $b \neq 0$ — неоднородных линейных функций.

Свойства

• $k$ является тангенсом угла, который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс.
• При $k>0$, прямая образует острый угол с осью абсцисс.
• При $k<0$, прямая образует тупой угол с осью абсцисс.
• При $k=0$, прямая параллельна оси абсцисс.
• $b$ является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
• При $b=0$, прямая проходит через начало координат.

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция $n$ переменных $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)$ — функция вида

$f(x)=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n$

где $a_0,a_1,a_2,\dots,a_n$ — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё $n$-мерное пространство переменных $x_1,x_2,\dots,x_n$ вещественных или комплексных. При $a_0=0$ линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные $x_1,x_2,\dots,x_n$ и коэффициенты $a_0,a_1,a_2,\dots,a_n$ — вещественные числа, то графиком линейной функции в $(n+1)$-мерном пространстве переменных $x_1,x_2,\dots,x_n, y$ является $n$-мерная гиперплоскость

$y=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n$

в частности при $n=1$ — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства $X$ над некоторым полем $k$ в это поле, то есть для такого отображения $f: X\to k$, что для любых элементов $x,y\in X$ и любых $\alpha,\beta\in k$ справедливо равенство

$f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)$

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Основные статьи: Линейная булева функция, Полином Жегалкина, Критерий Поста

Булева функция $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ называется линейной, если существуют такие $a_0, a_1, a_2, \dots, a_n$, где $a_i \in \{0, 1\}, \forall i=\overline{1,n}$, что для любых $x_1, x_2, \dots, x_n$ имеет место равенство:

$f(x_1, x_2, \dots, x_n) = a_0\oplus a_1\cdot x_1\oplus a_2\cdot x_2 \oplus\dots\oplus a_n\cdot x_n$.

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными (то есть достаточно произвольных), когда хотят подчеркнуть некие свойства, употребляют термин нелинейные функции. Обычно это происходит, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения.

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям $f=k x+b$, где $b\neq 0$, то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае $f(x_1 + x_2) \neq f(x_1) + f(x_2)$ и $f(c x) \neq c f(x)$. Например, нелинейной зависимостью считают $\sigma (\tau)$ для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

• Сублинейная функция
• Линейное уравнение

Ссылки

• Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.