Дифференциальное уравнение Бернули

Дифференциальное уравнение вида:

$y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,$, n≠1, 0.

называется дифференциальным уравнением Бернулли

Метод решения

1. Делим левую и правую части на yⁿ

$\frac{y'}{y^{n}} + \frac{P(x)}{y^{n-1}} = Q(x).$

2. Выполняем замену

$w=\frac{1}{y^{n-1}}$

$w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'$

3. Решаем дифференциальное уравнение

$\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x)$

Оно может быть решено с использованием интегрирующего множителя

$M(x)= e^{(1-n)\int P(x)dx}.$

Пример

$y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2$

Делим на y²

$y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2$

Замена переменные

$w = \frac{1}{y}$

$w' = \frac{-y'}{y^2}.$

$w' + \frac{2}{x}w = x^2$

$M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2.$

Умножаем на M(x),

$w'x^2 + 2xw = x^4,\,$

$\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx$

$wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C$

$\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C$

Результат

$y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}$