Дискретное метрическое пространство

Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, в котором все точки изолированы друг от друга в некотором смысле.

Определения

• Пусть X есть некоторое множество, а $\mathcal{T}$ — семейство всех его подмножеств. Тогда $\mathcal{T}$ является топологией, называемой дискретной, а пара $(X,\mathcal{T})$ называется дискре́тным топологи́ческим простра́нством.
• Пусть $(X,\varrho)$ — метрическое пространство, где метрика $\varrho$ определена следующим образом:

$\varrho(x,y) = \left\{ \begin{matrix} 1, & x \not=y \\ 0, & x = y \end{matrix} \right., \quad x,y\in X.$

Тогда $\varrho$ называется дискре́тной ме́трикой, а всё пространство называется дискре́тным метри́ческим простра́нством.

Замечание

Топология, индуцированная дискретной метрикой, является дискретной. Обратное, вообще говоря, неверно. Метрика, не являющаяся дискретной, может порождать дискретную топологию.

Примеры

• Пусть $X = \{ 1,\ldots, n\},$ где $n \in \mathbb{N}$, и $\varrho$ — дискретная метрика на X. Тогда $(X,\varrho)$ — дискретное метрическое, а следовательно и топологическое пространство.
• Пусть $X = \{1/n\}_{n \in \mathbb{N}},$ и $\varrho(x,y) = |x-y|.$ Очевидно, заданная метрика не дискретна. Однако, она порождает дискретную топологию.

Свойства

• Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда множество, содержащее лишь одну любую его точку, открыто.
• Множества, содержащие любую одну точку дискретного топологического пространства, являют собой базу дискретной топологии.
• Дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно.
• Дискретное метрическое пространство ограничено.
• Любые два дискретных топологических пространства, имеющих одинаковую мощность, гомеоморфны.
• Любая функция, определённая на дискретном топологическом пространстве, непрерывна.
• Дискретное подмножество евклидова пространства не более чем счётно. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

• Тривиальная топология.