Детерминант (математика)

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (т.е. такой, у которой количество строк и столбцов равны). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А|, ||A|| или Δ(A).

Определение через разложение по первой строке

Схема расчета определителя матрицы $2 \times 2$ .

Для матрицы порядка 1 детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

$\Delta=\begin{vmatrix} a_{11}\end{vmatrix} = a_{11}$

Для матрицы $2 \times 2$ детерминант определяется как

$\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Для матрицы $n \times n$ определитель задаётся рекурсивно:

$\Delta=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\bar M_j^1$,    где $\bar M_j^1$ — дополнительный минор к элементу a_1j. Эта формула называется разложением по строке.

В частности, формула вычисления определителя матрицы $3 \times 3$ такова:

$\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} =$

= a₁₁a₂₂a₃₃ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁

Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):

$\Delta=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\bar M_1^i$

Доказательство  

Пусть $\tilde{\Delta}= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\bar M_1^i$.

Докажем, что $\tilde{\Delta}=\Delta$ по индукции. Видно, что для матрицы $2 \times 2$ это верно:

$\tilde{\Delta_2}=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\bar M_1^i=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=\Delta_2$

Предполжим, что для матрицы порядка n−1 $\tilde\Delta_{n-1}=\Delta_{n-1}$ — верно.

$\tilde{\Delta_n}=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\bar M_1^i=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{i=2}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\bar M_1^i=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{i=2}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\sum_{j=2}^n(-1)^j a_{1j}\bar M_{1j}^{i1}=$

$=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^n (-1)^{i+j+1} a_{i1}a_{1j}\bar M_{1j}^{i1}$

${\Delta_n}=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\bar M_j^1=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{j=2}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\bar M_j^1=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{j=2}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\sum_{i=2}^n(-1)^i a_{i1}\bar M_{j1}^{1i}=$

$=a_{11}\bar M_1^1+\sum_{j=2}^n\sum_{i=2}^n (-1)^{i+j+1} a_{1j}a_{i1}\bar M_{j1}^{1i}=\tilde{\Delta_n}$

$\Delta=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\bar M_j^i$

Доказательство  

Пусть $\tilde{\Delta}= \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\bar M_j^i$.

Докажем, что $\tilde{\Delta}=\Delta$ по индукции. Видно, что для матрицы $2 \times 2$ это верно:

$\tilde{\Delta_2}=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\bar M_j^i=-a_{21}a_{12}+a_{22}a_{11}=\Delta_2$

Предположим, что для матрицы порядка n−1 $\tilde\Delta_{n-1}=\Delta_{n-1}$ — верно.

$\tilde{\Delta_n}=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\bar M_j^i=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\left(\sum_{k<j}(-1)^{1+k}a_{1k}\bar M_{jk}^{i1}+\sum_{k>j}(-1)^k a_{1k}\bar M_{jk}^{i1}\right)$

Соберём коэффициенты при $\bar M_{j_0k_0}^{i\,\,1}$:

$j_0>k_0\colon\; (-1)^{i+j_0}a_{ij_0}(-1)^{1+k_0}a_{1k_0}+(-1)^{i+k_0}a_{ik_0}(-1)^{j_0}a_{1j_0}=(-1)^{i+j_0+k_0+1}(a_{ij_0}a_{1k_0}-a_{ik_0}a_{1j_0})=$

$=(-1)^{i+j_0+k_0+1}M_{j_0k_0}^{1\,\,i}$

$j_0<k_0\colon\; (-1)^{i+j_0}a_{ij_0}(-1)^{k_0}a_{1k_0}+(-1)^{i+k_0}a_{ik_0}(-1)^{j_0+1}a_{1j_0}=(-1)^{i+j_0+k_0+1}(a_{ik_0}a_{1j_0}-a_{ij_0}a_{1k_0})=$

$=(-1)^{i+j_0+k_0+1}M_{j_0k_0}^{1\,\,i}$

$\tilde{\Delta_n}=\sum_{j\ne k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}\bar M_{jk}^{1i}$

$\Delta=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\bar M_j^1=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\left(\sum_{k<j}(-1)^{i+k-1}a_{ik}\bar M_{jk}^{1i}+\sum_{k>j}(-1)^{i+k-2}a_{ik}\bar M_{jk}^{1i}\right)$

Соберём коэффициенты при $\bar M_{j_0k_0}^{i\,\,1}$:

$j_0>k_0\colon\; (-1)^{1+j_0}a_{1j_0}(-1)^{i+k_0-1}a_{ik_0}+(-1)^{1+k_0}a_{1k_0}(-1)^{i+j_0-2}a_{ij_0} =(-1)^{j_0+i+k_0}(a_{1j_0}a_{ik_0}-a_{1k_0}a_{ij_0})=$

$=(-1)^{i+j_0+k_0+1}M_{j_0k_0}^{1\,\,i}$

$j_0<k_0\colon\; (-1)^{1+j_0}a_{1j_0}(-1)^{i+k_0-2}a_{ik_0}+(-1)^{1+k_0}a_{1k_0}(-1)^{i+j_0-1}a_{ij_0}= (-1)^{k_0+i+j_0}(a_{1k_0}a_{ij_0}-a_{1j_0}a_{ik_0})=$

$=(-1)^{i+j_0+k_0+1}M_{j_0k_0}^{1\,\,i}$

${\Delta_n}=\sum_{j\ne k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}\bar M_{jk}^{1i}=\tilde{\Delta_n}$ Обобщением вышеуказанных формул является разложение детерминанта по Лапласу (Теорема Лапласа), дающее возможность вычислять определитель по любым k строкам (столбцам):

$\Delta=\sum_{1\leqslant j_1<\ldots<j_k\leqslant n} (-1)^{i_1+...+i_k+j_1+...+j_k} M_{j_1...j_k}^{i_1...i_k} \bar M_{j_1...j_k}^{i_1...i_k}$

Определение через перестановки

Для матрицы $n \times n$ справедлива форумула:

$\Delta=\sum_{\alpha_1, \alpha_2, ... \alpha_n} (-1)^{N(\alpha_1, \alpha_2, ...\alpha_n)} \cdot a_{\alpha_11} \cdot ... \cdot a_{\alpha_nn}$,

где α₁,α₂,...α_n — перестановка порядка n, N(α₁,α₂...α_n) — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n. Таким образом, в определитель войдёт n! слагаемых, которые также называют "членами определителя". Важно заметить, что во многих курсах линейной алгебры это определение даётся как основное.

Свойства определителей

• Детерминант — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): $\Delta (\hat A_1, \ldots, \alpha\hat A_i+\beta\hat {A'}_i, \ldots, \hat A_n) = \alpha\Delta (\hat A_1, \ldots, \hat A_i, \ldots, \hat A_n)+ \beta\Delta (\hat A_1, \ldots, \hat {A'}_i, \ldots, A_n)$ , где $\hat A_1$ и т. д. — строчки матрицы, $\Delta (A_1, \ldots, A_i, \ldots, A_n)$ — определитель такой матрицы.
• При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
• Если две строки матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
• Если хотя бы одна строка нулевая, то определитель равен нулю.

• Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
• Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

• Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

Специальные виды определителей

• Определитель Вронского (Вронскиан)
• Определитель Вандермонда
• Определитель Грама
• Определитель Якоби (Якобиан)

См. также

• LU-разложение
• Пфаффиан

Литература

• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
• Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2000.

Ссылки

• Расчет определителя матрицы онлайн

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

• Детергент
• Детерминант

Полезное

Смотреть что такое "Детерминант (математика)" в других словарях:

• Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени …   Википедия

• Матрица (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица. Матрица  математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет… …   Википедия

• Определитель —         детерминант, особого рода математическое выражение, встречающееся в различных областях математики. Пусть дана Матрица порядка n, т. е. квадратная таблица, составленная из п2 элементов (чисел, функций и т. п.):                   (каждый… …   Большая советская энциклопедия

• Чичерин, Борис Николаевич — известный юрист и философ. Род. в Тамбове в 1828 г.; до 1868 г. был профессором государственного права в московском университете, в 1882 83 гг. московским городским головой; по выходе в отставку живет в своем имении (село Караул, Кирсановского… …   Большая биографическая энциклопедия

• ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ — физическая теория, рассматривающая пространственно временные закономерности, справедливые для любых физ. процессов. Универсальность пространственно временных св в, рассматриваемых О. т., позволяет говорить о них просто как о .св вах пространства… …   Физическая энциклопедия

• Биномиальный коэффициент — В математике биномиальные коэффициенты  это коэффициенты в разложении бинома Ньютона по степеням x. Коэффициент при обозначается или и читается «биномиальный коэффициент из n по k» (или «це из n по k»): В …   Википедия

• ПАТРИСТИКА — (лат. patres отцы) направление философско теологической мысли 2 8 вв., связанное с деятельностью раннехристианских авторов Отцов Церкви. Семантико аксиологические источники оформления П. античная философия (общерациональный метод и конкретное… …   История Философии: Энциклопедия

• Сэки Такакадзу — 関孝和 Дата рождения …   Википедия

• ПЛАТОН — (Plato) (428/427 348/347 до н.э.) древнегреческий философ, классик философской традиции; мыслитель мирового масштаба, к чьей оригинальной философской концепции генетически восходят многие направления классического философствования и европейский… …   Новейший философский словарь

• Теорема Пифагора — Теорема Пифагора  одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 …   Википедия