Дезарга теорема

Дезарга теорема

Теорема Дезарга является одной из основных теорем проективной геометрии. Она формулируется следующим образом:

Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку, то три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой.


Обратное тоже верно:

Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку.


Эти две теоремы являются двойственными по отношению друг к другу.

Содержание

О доказательстве

Одно из самых распространённых доказательств основывается на переходе в трёхмерное пространство — достаточно представить оба треугольника двумя сечениями трёхгранной пирамиды. Вся картина при этом рассматривается как проекция на плоскость пространственной структуры.

Конфигурация Дезарга

Точки и прямые в теореме Дезарга образуют так называемую конфигурацию Дезарга. Здесь через каждую из 10 точек проходят 3 прямые и на каждой из 10 прямых лежат 3 точки. При этом любая из 10 точек может быть принята за «вершину трёхгранной пирамиды» в приведённом выше доказательстве.

Теорема Дезарга и аксиоматика проективной геометрии

При построении проективной геометрии плоскости, без выхода в трёхмерное пространство, теорема Дезарга не выводится из основных аксиом проективной плоскости. Это означает, что возможно построить проективную плоскость, где теорема Дезарга не верна (см. недезаргова геометрия). При построении дезарговой проективной плоскости утверждение теоремы Дезарга добавляют к системе аксиом проективной плоскости в качестве ещё одной аксиомы.

История

Теорема Дезарга была открыта французским геометром Дезаргом.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Дезарга теорема" в других словарях:

  • Дезарга теорема —         теорема проективной геометрии, установленная французским математиком Ж. Дезаргом. Д. т. утверждает (рис.), что если соответствующие стороны двух треугольников пересекаются в точках Р, Q, R, лежащих на одной прямой, то прямые, соединяющие… …   Большая советская энциклопедия

  • Теорема Дезарга — является одной из основных теорем проективной геометрии. Она формулируется следующим образом: Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку,… …   Википедия

  • ДЕЗАРГА ПРЕДЛОЖЕНИЕ — теорема Дезарга: если соответствующие стороны двух треугольников ABC и А В С пересекаются в точках Р, Q, R, лежащих на одной прямой, то прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке; обратно: если прямые, соединяющие… …   Математическая энциклопедия

  • Теорема Паскаля — Шестиугольник вписан в эллипс, точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной (красной) прямой Теорема Паскаля  теорема проективной геометрии, которая гласит, что …   Википедия

  • Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве)  это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… …   Википедия

  • Проективная геометрия — раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства. Главная особенность проективной геометрии состоит в принципе двойственности, который прибавляет изящную симметрию во многие конструкции. Проективная геометрия может изучаться как с …   Википедия

  • Пучёк — Проективная геометрия раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства. Главная особенность проективной геометрии состоит в принципе двойственности, который прибавляет изящную симметрию во многие конструкции. Проективная геометрия …   Википедия

  • Дезарг Жерар — Дезарг (Désargues) Жерар [1593, Лион, ‒ 1662, там же (по др. данным ‒ 1591‒1661)], французский математик. Был военным инженером. Заложил основы проективной и начертательной геометрии. В своих исследованиях систематически применял перспективное… …   Большая советская энциклопедия

  • Дезарг — (Désargues)         Жерар [1593, Лион, 1662, там же (по др. данным 1591 1661)], французский математик. Был военным инженером. Заложил основы проективной и начертательной геометрии. В своих исследованиях систематически применял перспективное… …   Большая советская энциклопедия

  • ГЕОМЕТРИИ ОБЗОР — Геометрия раздел математики, тесно связанный с понятием пространства; в зависимости от форм описания этого понятия возникают различные виды геометрии. Предполагается, что читатель, приступая к чтению этой статьи, обладает некоторыми… …   Энциклопедия Кольера


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»