Двухэлементный тензор

Диа́да — это специальный тензор второго ранга, тензорное произведение двух векторов. В компонентной записи диада имеет вид

$\ A_{ij} = a_i b_{j},$

В бескоординатной форме

$\mathbf{A} = \mathbf{a} \otimes \mathbf{b}$, либо просто $\mathbf{a b}$

Любой двухвалентный тензор можно разложить в сумму не более чем n диад, где n — размерность исходного линейного пространства, так как

$\begin{bmatrix} 0 & \dots & a_1 & \dots & 0 \\ 0 & \dots & a_2 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & \dots & a_n & \dots & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \dots \\ a_n \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & \dots & 1 & \dots & 0 \end{bmatrix}$

и любая матрица представима как сумма не более чем n таких «одностолбцовых» матриц.

Пример диады

Например, рассмотрим пару векторов

$\mathbf{A} = a \mathbf{i} + b \mathbf{j}$

и

$\mathbf{B} = c \mathbf{i} + d \mathbf{j}.$

Тогда тензорное произведение A и B равно

$\mathbf{A\otimes B} = a c \mathbf{i\otimes i} + a d \mathbf{i\otimes j} + b c \mathbf{j\otimes i} + b d \mathbf{j\otimes j}$.

Оператор вращения

Двухвалентный тензор

$\mathbf{j\otimes i} - \mathbf{i\otimes j}$ -

это оператор вращения плоскости на 90°. Он действует слева от вектора и производит вращение:

$(\mathbf{j\otimes i} - \mathbf{i\otimes j}) \cdot (x \mathbf{i} + y \mathbf{j}) = x \mathbf{j (i} \cdot \mathbf{i)} - x \mathbf{i (j} \cdot \mathbf{i)} + y \mathbf{j (i} \cdot \mathbf{j)} - y \mathbf{i (j} \cdot \mathbf{j)} = -y \mathbf{i} + x \mathbf{j}.$

Операции с диадами

Использование диад

В математике

В физике

Как простейшие составляющие двухвалентных тензоров, диады нашли применение в кристаллофизике при описании симметрийных свойств кристаллов. Наибольшее развитие данный подход получил в так называемом ковариантном или бескоординатном методе, развиваемом белорусской школой теоретической физики.

Литература

• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — 9-е изд.. — М.: Наука, 1965. — 424 с. с.