Уравнения Эйлера — Лагранжа

Уравнения Эйлера — Лагранжа

Уравне́ния Э́йлера — Лагра́нжа (в физике также уравнения Лагранжа — Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом наименьшего действия, используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Использовнание уравнений Эйлера - Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в нуль, гладкая функция может иметь экстремум (в случае векторного аргумента приравнивается нулю градиент функции, т.е. производная по векторному аргументу). Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов - функций бесконечномерного аргумента.

Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в 1750-х годах.

Утверждение

Пусть задан функционал

$J = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x))\, dx.$

с подынтегральной функцией $\! F (x, f (x), f' (x))$, обладающей непрерывными первыми частными производными и называемой функцией Лагранжа или лагранжианом, где через f' обозначена первая производная f по t. Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции $\! f$, то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

$\frac {\partial F} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial F} {\partial f'} = 0,$

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

Примеры

Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа. Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты $\! (a, c)$ и $\! (b, d)$. Тогда длина пути $\! y(x)$, соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом:

$L = \int\limits_a^b \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} dx.$

Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала принимает вид:

$\frac d {dx} \frac {\partial} {\partial y'} \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} = 0,$

откуда получаем, что

$\frac {dy} {dx} = C \Rightarrow y = Cx + D.$

Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что $\! y(a) = c$, $\! y(b) = d$, т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок, соединяющий точки.

Многомерные вариации

Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа.

• Если q(t) — путь в n-мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу

$J = \int\limits_{t1}^{t2} L(t, q(t), q'(t))\, dt$

только если удовлетворяет условию

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial q'_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0$ $\forall k = 1, 2, \dots n$

В физических приложениях когда $\! L$ является лагранжианом (имеется в виду лагранжиан некоторой физической системы; т.е. если J - действие для этой системы), эти уравнения — суть (классические) уравнения движения такой системы. Это утверждение может быть прямо обобщено и на случай бесконечномерного q.

• Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции n переменных. Если $\! \Omega$ — какая-либо, в данном случае n-мерная, поверхность, то

$J = \int\limits_{\Omega} L(f, x_1, \dots , x_n, f_{x_1}, \dots , f_{x_n})\, d\Omega ,$

где $x_i = x_1, x_2, x_3,\dots, x_n$ - независимые координаты, $f = f(x_1, x_2, x_3,\dots, x_n)$, $f_{x_i} \equiv \frac{\partial f}{\partial x_i}$,

доставляет экстремум если только f удовлетворяет уравнению в частных производных

$\frac{\partial L}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial f_{x_i}} = 0.$

Если n = 2 и L — функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».

• Очевидная комбинация двух описанных выше случаев используется для получения уравнений движения распределенных систем, таких как физические поля, колеблющиеся струны или мембраны итп.

В частности, вместо статического уравнения равновесия мыльной пленки, приведенного в качестве примера в предыдущем пункте, имеем в этом случае динамическое уравнение движения такой пленки (если, конечно, нам удалось изначально записать для нее действие, т.е. кинетическую и потенциальную энергию).

История

Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагранжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления (термин придумал Эйлер в 1766 году).

Доказательство

Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления.

Мы хотим найти такую функцию $\! f$, которая удовлетворяет граничным условиям $\! f(a)=c$, $\! f(b)=d$ и доставляет экстремум функционалу

$J = \int\limits_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx.$

Предположим, что $\! F$ имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.

Если $\! f$ даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение $\! f$, которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение $\! J$ (если $\! f$ минимизирует его) или уменьшать $\! J$ (если $\! f$ максимизирует).

Пусть $\! \eta(x)$ — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию $\! \eta(a)=\eta(b)=0$. Определим

$J(\varepsilon) = \int\limits_a^b F(x,f(x) + \varepsilon \eta(x), f'(x) + \varepsilon \eta'(x))\, dx.$

Поскольку $\! f$ даёт экстремум для $\! J(0)$, то $\! J'(0)=0$, то есть

$J'(0) = \int\limits_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]\,dx = 0.$

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

$0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b.$

Используя граничные условия на $\! \eta$, получим

$0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx.$

Отсюда, так как $\! \eta(x)$ — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

$\frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}=0.$

Обобщение на случай с высшими производными

Лагранжиан может также зависеть и от производных f порядка выше, чем первый.

Пусть функционал, экстремум которого нужно найти, задан в виде:

$J = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x), f''(x),...,f^{(n)}(x))\, dx.$

Если наложить граничные условия на f и на её производные до порядка n − 1 включительно, а также предположить, что F имеет непрерывные первые производные, то можно, применяя интегрирование по частям несколько раз, вывести аналог уравнения Эйлера-Лагранжа и для этого случая:

$\frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}+\frac{d^2}{dx^2} \frac{\partial F}{\partial f''}-\cdots+(-1)^n \frac{d^n}{dx^n} \frac{\partial F}{\partial f^{(n)}} = 0 .$

Это уравнение часто называют уравнением Эйлера-Пуассона.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Литература

• Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
• Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
• Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление, — УРСС, Москва, 2004.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Euler-Lagrange(англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Calculus of Variations на сайте PlanetMath.(англ.)
• Summary with some historical information
• Examples — задачи из вариационного исчисления.