Грань числового множества

Грань числового множества

Точная верхняя грань и точная нижняя грань — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Содержание

Определения

Точной верхней гранью, или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества X упорядоченного множества M, называется наименьший элемент M, который равен или больше всех элементов множества X. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается \sup X.

Более формально:

S_X=\{y\in M\mid\forall x\in X\!:x\leqslant y\}\! — множество верхних граней X, то есть элементов M, равных или больших всех элементов X
s=\sup(X)\iff s\in S_X\and\forall y\in S_X\!:s\leqslant y.

Точной нижней гранью, или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества X упорядоченного множества M, называется наибольший элемент M, который равен или меньше всех элементов множества X. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается \inf X.

Замечание

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли \sup X и \inf X множеству X или нет. В случае s=\sup X\in X, говорят, что s является максимумом X. В случае i=\inf X\in X, говорят, что i является минимумом X.

Примеры

  • На множестве всех действительных чисел, больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. \inf такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум и он равен шести. Вообще говоря, у любого подмножества множества натуральных чисел существует минимум[1].
  • Для множества S=\left\{\frac{1}{k}\mid k\in\Bbb N\right\}=\left\{1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{3},\;\ldots\right\}
\sup S=1; \inf S=0.
  • Множество положительных действительных чисел \Bbb R_+=\{x\mid x>0\} не имеет точной верхней грани в \Bbb R, точная нижняя грань \inf\Bbb R_+=0.
  • Множество X=\{x\in\Bbb Q\mid x^2<2\} рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в \Bbb Q, но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то
\sup X=\sqrt{2} и \inf X=-\sqrt{2}.

Свойства

  • Для любого ограниченного сверху подмножества \mathbb{R}, существует \sup.
  • Для любого ограниченного снизу подмножества \mathbb{R}, существует \inf.
  • Вещественное число s является \sup X тогда и только тогда
    1. s есть верхняя грань X то есть для всех элементов x\in X, x\leqslant s.
    2. для любого \varepsilon>0 найдётся x\in X, такой, что x+\varepsilon > s (то есть к s можно сколь угодно «близко подобраться» из множества X)
  • Аналогичное утверждение верно для точной нижней грани.

Вариации и обобщения


Примечания

  1. Строго говоря, у любого подмножества вполне упорядоченного множества существует в силу принципа фундированности минимум.

Wikimedia Foundation. 2010.

См. также в других словарях:

  • Грань (значения) — Грань: Грань (телесериал)  американский научно фантастический телесериал; Грань (геометрия)  плоская поверхность предмета, составляющая угол с другой такой же поверхностью; Грань (часть цифр)  часть цифр большого числа, выделенная… …   Википедия

  • ВЕРОЯТНОСТЬ — общенаучная и филос. категория, обозначающая количественную степень возможности появления массовых случайных событий при фиксированных условиях наблюдения, характеризующую устойчивость их относительных частот. В логике семантическая степень… …   Философская энциклопедия

  • Фибоначчи — (Fibonacci) Фибоначчи первый крупный математик средневековой Европы Десятичная система счисления, арабские цифры, числа, последовательность, уровни, ряд, линии и спираль Фибоначчи Содержание >>>>>>>>> …   Энциклопедия инвестора

  • Статистика — (Statistics) Статистика это общетеоретическая наука, изучающая количественные изменения в явлениях и процессах. Государственная статистика, службы статистики, Росстат (Госкомстат), статистические данные, статистика запросов, статистика продаж,… …   Энциклопедия инвестора

Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»