Гиперболичность в смысле Громова

В математике, геодезическое метрическое пространство X называется гиперболическим в смысле Громова или $\delta$-гиперболическим, если в нём все геодезические треугольники $\delta$-тонкие. Грубо говоря, это означает, что "при взгляде издалека" треугольники похожи на треугольники в деревьях — или что "радиус вписанной окружности" (точнее, размер треугольника минимального диаметра с вершинами на сторонах исходного) равномерно ограничен сверху.

Определение

Есть много эквивалентных определений этого свойства (иногда отличающихся изменением $\delta$ в константу раз); наиболее простое — для любых точек x, y, z пространства отрезок геодезической [xy] лежит в $\delta$-окрестности объединения [xz] и [yz]. Иными словами — на отрезке [xy] найдётся точка t такая, что [xt] лежит в $\delta$-окрестности [xz], а [ty] лежит в $\delta$-окрестности [zy].

Также можно определить гиперболичность в смысле Громова, потребовав, чтобы для любых точек $x,y,z \in X$ выполнялось

$(x, z)_{p} \geq \min \big\{ (x, y)_{p}, (y, z)_{p} \big\} - \delta,$

где $(x,y)_p$ обозначает произведение в смысле Громова:

$(y, z)_{x} = \frac1{2} \big( d(x, y) + d(x, z) - d(y, z) \big).$

Свойства

• Гиперболичность является инвариантом квазиизометричных преобразований. Благодаря этому, гиперболичность группы не зависит от выбора системы образующих, использованной для задания словарной метрики.
• Если пространство содержит изометричную копию $\mathbb{R}^2$, оно не может быть гиперболичным. В частности, декартово произведение почти никогда не может быть гиперболическим.

Примеры

• Любое компактное пространство гиперболично.
• Любое дерево является 0-гиперболическим пространством.
• Плоскость Лобачевского гиперболична в смысле Громова.

Ссылки

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

• П. де ля Арп, Э. Гис, Гиперболические группы по Михаилу Громову

(P. de la Harpe, E. Ghys, Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov)

• Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75—263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.