Гармоническая волна

Гармоническая волна — согласно наиболее общему определению — волна, каждая точка колеблющейся среды или поле в каждой точке пространства совершает гармонические колебания^[1]. В разных случаях при необходимости особо выделяется интересующий класс гармонических волн, например, плоская гармоническая волна, стоячая гармоническая волна итд (см. ниже).

Слово 'гармоническая' тут является синонимом слова 'монохроматическая', однако, по-видимому, не совсем точным; во всяком случае, обычные области применения того и другого термина обычно несколько различаются.

Источниками гармонических волн могут быть гармонические колебания, они также могут возбуждаться в какой-либо системе при взаимодействии ее с гармонической волной.

Одномерный случай

Случай одномерного однородного пространства (или одномерной однородной среды)^[2] — наиболее прост.

В этом случае все виды гармонических волн сводятся к:

• синусоидальным (косинусоидальным) бегущим волнам:

$u(x,t) = A\ cos(kx - \omega t + \phi_0)\$

• или бегущим волнам виде мнимой экспоненты:

$u(x,t) = A\ e^{i(kx - \omega t)},\$

а также к конечным линейным комбинациям волн такого вида (для выражения произвольной действительной гармонической волн в этом случае достаточно смешать две волны первого вида или четыре второго; в случае более многомерного u добавляется по два таких слагаемых на каждую поляризацию).

• Может быть также использовано понятие гармонической стоячей волны, сводящейся к сумме двух гармонических бегущих (бегущих в противоположных направлениях) волн, описанных выше:

$u(x,t) = \frac{A}{2} \cdot ( cos(kx - \omega t + \phi_0) + cos(-kx - \omega t + \hat\phi_0) ) = A cos(kx + \phi'_0 ) cos (\omega t + \hat\phi'_0).$

Здесь A — постоянный (не зависящий от x и t) коэффициент, природа и размерность которого свпадает с природой и размерностью поля u; k, ω и φ₀ — также постоянные параметры, в рассматриваемом одномерном случае все они — действительные числа (в отличие от более многомерных, где k становится векторным — для плоских волн). A — есть амплитуда волны, k — волновое число, ω — (циклическая) частота и φ₀ — начальная фаза — то есть фаза волны при x = t = 0.

Во второй формуле A — (обычно) комплексное, амплитуду волны определяет его модуль |A|, а начальная фаза спрятана также в A в качестве его аргумента, поскольку

$u(x,t) = A\ e^{i(kx - \omega t)} = |A|\ e^{i Arg A} e^{i(kx - \omega t)} = |A|\ e^{i(kx - \omega t + Arg A)}.$

Так же, как стоячая волна выражается (как записано здесь) через две бегущих, так же и бегущая может быть выражена через две стоячих. Поэтому можно выбрать один из двух равноправных способов выражения произвольной гармонической волны в случае одномерного однородного пространства: через линейную комбинацию бегущих или линейную комбинацию стоячих волн. Это верно и для всех других случаев, хотя базисные волны, через линейную комбинацию которых выражается произвольная гармоническая волна, могут оказаться сложнее.

• случай неоднородного одномерного пространства (неоднородной среды) оказывается значительно сложнее. В этом случае зависимость гармонических волн от пространственной координаты x становится не синусоидальной, а в общем — и наиболее типичном — случае и вовсе не выражается через элементарные функции. Тем не менее, и в этом случае остается верным утверждение о возможности выразить произвольную гамоническую волну через конечное (для определенной частоты) количество базисных гармонических волн.

Случаи пространства размерностью больше единицы

В случаях пространства размерностью больше единицы, даже если оно однородно, в принципе разнообразие возможных гармонических волн очень сильно возрастает. Однако есть два типа гармонических волн, которым следует уделить главное отдельное внимание.

Плоские гармонические волны

наиболее важным и часто встречающимся типом гармонических волн являются плоские гармонические волны. (Одномерные гармонические волны являются их одномерным частным случаем.)

• Бегущая плоская волна — это волна такого вида:

$u(x,t) = A\ cos(\vec k \cdot \vec x - \omega t + \phi_0)\$

или

$u(x,t) = A\ e^{i(\vec k \cdot \vec x - \omega t)},\$

где, в отличие от одномерной волны $\vec k$ — уже не действительное число, а вектор, называемый волновым вектором, размерность которого равна размерности пространства, а выражение $\vec k \cdot \vec x$ означает скалярное произведения этого вектора с вектором^[3] $\vec x = (x_1, x_2, x_3, \dots) = (x, y, z, \dots)$, характеризующим точку пространства: $\vec k \cdot \vec x = k_1 x_1 + k_2 x_2 + k_3 x_3 + \dots$.

Легко видеть, что если выбрать ось координат вдоль волнового вектора, плоская многомерная волна сводится к одномерной (u вообще перестает зависеть от остальных координат, а от первой — зависит как одномерная гармоническая волна).

• Стоячая плоская волна:

$u(x,t) = A cos(\vec k \cdot \vec x + \phi_0) cos(\omega t + \hat\phi'_0).$

Так же, как и в одномерном случае, стоячие и бегущие гармонические волны одной частоты с одинаковым (быть может, с точностью до знака) волновым вектором, элементарно линейно выражаются друг через друга.

Поскольку с помощью преобразования Фурье (в текущем параграфе подразумевается, конечно, многомерное преобразование Фурье) практически любую^[4] функцию пространственных координат можно представить как сумму (интеграл) функций, представляющих каждая плоскую волну, а зависимость от времени в тогда для случая однородного пространства будет тоже очевидно гармонической, то очевидно удобство разложения любой гармонической (да и не только гармонической) волны по плоским гармоническим волнам. В каких-то случаях и в какой-то мере это может быть полезным и в случаях неоднородности пространства, хотя в этом случае это вполне может и не дать ожидаемых преимуществ, или извлечение этих преимуществ может потребовать особого искусства.

Сферические гармонические волны

Сферические гармонические волны несколько менее универсальны и просты (их гораздо труднее даже выписать в явном виде, если не выражать просто через бесконечные суммы/интегралы плоских волн; например, для двумерного пространства гармонические сферические волны выражаются через функции Бесселя, то есть не выражаются через элементарные функции).

Тем не менее они бывают очень полезны, когда сами условия задачи склоняют к попытке рассмотрения сферических волн, то есть, в особенности при исследовании волн, порождаемых точечным источником или когда задача в целом имеет сферическую симметрию (последнее лучше всего для попытки искать решение просто в виде только сферических волн).

Для трехмерного однородного пространства гармонические сферические волны имеют вид:

• бегущие:

$u(r,t) = A\ \frac{cos(k r - \omega t + \phi_0)}{r}$

или

$u(r,t) = A\ \frac{e^{i(k r - \omega t + \phi_0)}}{r}$

• стоячие:

$u(r,t) = A\ \frac{cos(k r + \phi_0) \cdot cos(\omega t + \hat\phi_0)}{r}$

или (в виде, удобном в качестве для разложения):

$u(r,t) = A\ \frac{cos(k r) \cdot cos(\omega t)}{r}$

$u(r,t) = A\ \frac{cos(k r) \cdot sin(\omega t)}{r}$

Значение и теоретическое применение

Общий линейный случай

Любое линейное дифференциальное уравнение вида

$K \frac{\partial^n u}{\partial t^n} = L u,$

где порядок дифференцирования по времени n может быть любым (чаще интересны n = 1 или 2), а L любой линейный дифференциальный оператор, не зависящий от t (правда, если u должно быть действительным одномерным, а L -эрмитов, то нечетные n придется исключить), будет иметь решением гармоническую волну.

Действительно, подставим $u = e^{i\omega t}\cdot v(x)$, где x — точка пространства любой размерности. Получаем тогда:

$K i^n\omega^n v = L v,\$

а экспонента сокращается. Сделав такую же подстановку с -ω, получим, при оговоренных выше условиях подходящего K, получить и действительное v как сумму этих двух решений.

Примечания

1. ↑ См. определение по ГОСТу: http://www.rgost.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1680&Itemid=33
2. ↑ Так же, конечно, как и сводящиеся к нему многомерные случаи
3. ↑ Многоточие означает, что количество координат, определяющих вектор равно размерности пространства; если эта размерность равна 2, то количество компонент вектора, естественно, также должно быть усечено до 2.
4. ↑ Математические условия, накладываемые на класс функций, для которых возможно преобразование Фурье и для которых обратное преобразование восстанавливает исходную функцию, можно считать удовлетворенными для любой функции, интересной сточки зрения физики волн, а случаи, когда то не совсем так, как правило, не очень важны с принципиальной точки зрения, во-вторых же достаточно успешно исправляются достаточно простой регуляризацией.

См. также

• Гармонические колебания
• Гармонические функции
• Монохроматическое излучение