Полугруппа с делением

В математике полугруппой с делением называется частично упорядоченная полугруппа $(S, \cdot, \leqslant)$, в которой для любых двух элементов $a$ и $b$ определены правое ($a/b$) и левое ($b \backslash a$) частные, причём выполняются условия:

$\forall c \in S\quad c \leqslant a/b \Leftrightarrow c \cdot b \leqslant a$ (правое; читается «$a$ над $b$»);

$\forall c \in S\quad c \leqslant b \backslash a \Leftrightarrow b \cdot c \leqslant a$ (левое; читается «$b$ под $a$»).

Очевидно, что если полугруппа абелева, то правое и левое частные совпадают. Правое и левое частные для каждых двух элементов определяются однозначно.

Примеры

• Натуральные числа с операцией сложения: $(\mathbb{N}, +, \geqslant)$;
• Любая импликативная решётка: здесь псевдодополнение играет роль как правого, так и левого частного.
• Множество всех подмножеств частично упорядоченной полугруппы S с операцией $\cdot: A\cdot B = \{a \cdot b | a \in A, b \in B\}$. Здесь $A/B = \{c \in S| \{c\} \cdot B \subseteq A\}$ (левое — аналогично).

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 14 мая 2011.