Уравнение Клейна — Гордона

Уравнение Клейна — Гордона

Уравнение Клейна — Гордона (Уравнение Клейна — Гордона — Фока):

$\partial^2_x \psi + \partial^2_y \psi + \partial^2_z \psi - {1\over c^2}\partial^2_t \psi - {m^2 c^2\over \hbar^2} \psi = 0.$

или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где $\hbar=c=1$):

$(\square\ - m^2) \psi = 0.$

где $\square\$ — оператор Д’Аламбера.

— является релятивистской версией уравнения Шрёдингера. Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (впрочем, пока с определенностью не известных в фундаментальной физике). Может быть обобщено для частиц с целым и полуцелым спинами. ^[1] Кроме прочего, ясно, что уравнение Клейна — Гордона — Фока является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.

Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:

• в одномерном случае — натянутая тяжелая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.
• макроскопически изотропный кристалл, каждый атом которого находится, кроме связи с соседними атомами, еще и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.
• более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна — Гордона в координатах, лежащих в плоскости слоев.

Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.

Уравнение Клейна — Гордона для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.

• Замечание: положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона гармонический осциллятор с частотой $\pm mc^2\hbar$, что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой m частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.

История

Уравнение Клейна — Гордона первоначально записал Эрвин Шрёдингер до записи нерелятивистского уравнения, которое носит сейчас его имя. Он отказался от него, потому что не смог включить спин электрона в уравнение. Шрёдингер сделал упрощение уравнения Клейна — Гордона и нашёл «своё» уравнение.

В 1926 году, вскоре после публикации уравнения Шрёдингера, Фок написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости и независимо вывел это уравнение. И Клейн, и Фок использовали метод Калуцы — Клейна. Фок также ввёл калибровочную теорию для волнового уравнения.

Вывод

• (Здесь использованы естественные единицы где $\hbar=c=1$).

Уравнение Шрёдингера для свободной частицы записывается так:

$\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} \psi = i \partial_t \psi$

где $\hat{\mathbf{p}} = -i\mathbf{\nabla}$ — оператор импульса, оператор же $\hat{E} = i \partial_t$ — будем называть, в отличие от гамильтониана, просто оператором энергии.

Уравнение Шрёдингера не является релятивистски ковариантным, то есть не согласуется со специальной теорией относительности (СТО).

Используем релятивистское соотношение, связывающее энергию и импульс (из СТО):

p² + m² = E².

Тогда просто подставляя квантовомеханическиe оператор импульса и оператор энергии ^[2] — получаем:

$((-i\mathbf{\nabla})^2 + m^2) \psi= i^2 \partial_t^2 \psi,$

что в ковариантной форме запишется так:

$(\square\ - m^2) \psi = 0.$

где $\square\ = \nabla^2 - \partial_t^2$ — оператор Д’Аламбера.

Решение уравнения Клейна — Гордона для свободной частицы

Искать решение уравнения Клейна — Гордона для свободной частицы

$\mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi$

можно, как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в виде суперпозиции (то есть любой, конечной или бесконечной линейной комбинации) плоских волн:

$\psi(\mathbf{r},\; t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)},$

подставляя же каждую такую волну в уравнение, получаем условие на $\mathbf k$ и ω:

$-k^2+\frac{\omega^2}{c^2}=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}.$

Плоская волна, как легко заметить, описывает чистое состояние с определенной энергией и импульсом (то есть является собственной функцией соответствующих операторов). Энергия и импульс (то есть собственные значения этих операторов), исходя из этого, могут быть для нее просто посчитаны, как и в случае нерелятивистской частицы:

$\langle\mathbf{p}\rangle= \langle \psi |\hat{\mathbf{p}}|\psi\rangle = \langle \psi |-i\hbar\mathbf{\nabla}|\psi\rangle = \hbar\mathbf{k}$

$\langle E\rangle= \langle \psi |\hat{E}|\psi\rangle = \langle \psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = \hbar\omega$

Найденное соотношение k и ω тогда (снова) дает уравнение связи между энергией и импульсом релятивистской частицы с ненулевой массой, известное из классики:

$\langle E^2 \rangle=m^2c^4+\langle \mathbf{p}^2 \rangle c^2.$

Причем ясно, что соотношение для средних величин будет выполняться не только для состояний с определенной энергией и импульсом, но и для любой их суперпозиции, то есть для любого решения уравнения Клейна — Гордона (что, в частности, обеспечивает выполнение этого соотношения и в классическом пределе).

Для безмассовых частиц мы можем положить m = 0 в последнем уравнении. Тогда получим для безмассовых частиц закон дисперсии (он же соотношение энергии и импульса) в виде:

$\langle E^2 \rangle=\langle \mathbf{p}^2 \rangle c^2.$

Использовав формулу групповой скорости $\mathbf{v}_{gr} = \partial \omega / \partial \mathbf{k}\$, нетрудно получить обычные релятивистские формулы связи импульса и энергии со скоростью; в принципе, того же результата можно добиться и просто посчитав коммутатор гамильтониана с координатой, но в случае уравнения Клейна — Гордона мы сталкиваемся с трудностью выписать гамильтониан в явном виде ^[3] (очевиден только квадрат гамильтониана).

Примечания

1. ↑ см. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. - "Введение в теорию квантованных полей" §§ 4,6
2. ↑ Можно было бы просто извлечь корень из оператора в скобках в левой части уравнения

   $((-i\mathbf{\nabla})^2 + m^2) \psi= i^2 \partial_t^2 \psi,$

   то есть найти таким образом гамильтониан, тогда в правой части осталась бы первая производная по времени, и аналогия с уравнением Шрёдингера была бы еще более непосредственной и прямой. Однако утверждается, что для случая скалярного (или векторного) поля ψ невозможно проделать это так, чтобы получившийся гамильтониан был локальным. Для случая же биспинорного ψ Дираку удалось получить таким образом локальный (и даже с производными лишь первого порядка) гамильтониан, получив этим самым так называемое уравнение Дирака (все решения которого в пространстве Минковского, кстати, являются и решениями уравнения Клейна — Гордона, но не обратно; а в искривлённом пространстве различие уравнений становится явным).
3. ↑ см. примечание 2.

См. также

• Уравнение синус-Гордона
• Уравнение Дирака
• Уравнения Прока
• Уравнения Максвелла

Внешние ссылки

• Линейное уравнение Клейна — Гордона на EqWorld: The World of Mathematical Equations.

• Нелинейное уравнение Клейна — Гордона на EqWorld: The World of Mathematical Equations.