Абсолютно антисимметричный единичный тензор

Символ Ле́ви-Чиви́ты — математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты. Обозначается $\varepsilon_{ijk}$ (нередко эпсилон пишется в ином начертании: $\ \epsilon_{ijk}$). Здесь приведён символ для трёхмерного пространства, для других размерностей меняется количество индексов (см.ниже).

Другие названия:

• Абсолютно антисимметричный единичный тензор
• Полностью антисимметричный единичный тензор
• Абсолютно кососимметричный объект
• Тензор Леви-Чивиты (символ Леви-Чивиты является компонентной записью этого тензора).
• Кососимметричный символ Кронекера (данный термин использовался в учебнике по тензорному исчислению Акивиса и Гольдберга)

Определение

Изображение символа Леви-Чивита

В трёхмерном пространстве, в правом ортонормированном базисе (или вообще в правом базисе с единичным определителем метрики) символ Леви-Чивиты определяется следующим образом:

$\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & P(i,j,k)=+1 \\ -1 & P(i,j,k)=-1 \\ 0 & i=j,\, j=k,\, k=i \end{cases}$

то есть для чётной перестановки P(i, j, k) равен 1 (для троек (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2)), для нечётной перестановки P(i, j, k) равен −1 (для троек (3,2,1), (1,3,2), (2,1,3)), а в остальных случаях равен нулю, при повторении. Для компонент $\ \varepsilon_{ijk}$ в левом базисе берутся противоположные числа.

Для общего случая (произвольных косоугольных координат) это определение обычно меняется на

$\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} +\sqrt{g} & P(i,j,k)=+1 \\ -\sqrt{g} & P(i,j,k)=-1 \\ 0 & i=j,\, j=k,\, k=i \end{cases}$

Для компонент $\ \varepsilon_{ijk}$ в левом базисе также берутся противоположные числа.

где $\ g$ — определитель матрицы метрического тензора $\ g_{ij}$, представляющий квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базис.

Такой набор компонент $\varepsilon_{ijk}$ представляет тензор (точнее — псевдотензор).

При этом, конечно, $\varepsilon^{ijk}$ ,будет таким же, но с заменой $\ \sqrt{g}$ на $\ 1/\sqrt{g}$ .

$\varepsilon_{ijk}$ может определяться также как смешанное произведение векторов базиса, в котором символ применяется:

$\varepsilon_{ijk}=\left[\vec{e}_i\vec{e}_j\vec{e}_k\right]$.

Это определение для любого, правого или левого базиса, так как разница знака для левых и правых базисов заключена в смешенном произведении. Абсолютная величина каждой ненулевой компоненты равна объему параллелепипеда, натянутого на базис $\ \{\vec {e_i}\}$. Тензор, как и положено, антисимметричен по любой паре индексов. Определение эквивалентно приведенным выше.

• Иногда пользуются альтернативным определением символа Леви-Чивиты без множителя $\sqrt{g}\$ в любых базисах (т.е. таким, что все его компоненты всегда равны ±1 или 0, как в нашем определении для ортонормированных базисов). В этом случае он сам по себе не является представлением тензора. Домноженный же на $\sqrt{g}\$ объект (совпадающий с $\varepsilon_{ijk}$ в нашем определении и являющийся тензором) в этом случае обозначается другой буквой и называется, как правило, элементом объема. Мы же здесь следуем определению Леви-Чивиты. (Это замечание имеет силу не только для трехмерного пространства, но и для любой размерности).

Геометрический смысл

Как видно уже из определения через смешанное произведение, символ Леви-Чивиты связан с ориентированным объемом и ориентированной площадью, представленной как вектор.

В трехмерном (евклидовом) пространстве смешанное произведение трех векторов

$V = \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k$

— это ориентированный объём (псевдоскаляр, модуль которого равен объёму, а знак зависит от ориентации тройки векторов) параллелепипеда, натянутого на три вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$

Векторное произведение двух векторов

$S_i = \varepsilon_{ijk} a^j b^k$

— это ориентированная площадь параллелограмма, стороны которого — векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, представленная псевдовектором, длина которого равна площади, а направление — ортогонально к плоскости параллелограмма.

Этот смысл сохраняется для любой размерности пространства n, если, конечно, брать $\varepsilon$ с соответствующим количеством индексов, под объёмом понимать n-мерный объем, а под площадью — (n−1)-мерную (гипер-)площадь. При этом, естественно, в соответствующую формулу входит n и (n−1) векторов — сомножителей. Например, для 4-мерного (евклидова) пространства:

$V = \varepsilon_{ijkm} a^i b^j c^k d^m,$

$S_i = \varepsilon_{ijkm} a^j b^k c^m.$

Свойства

• Определитель матрицы A размера 3×3 можно записать (здесь подразумевается стандартный, а следовательно ортонормированный базис):

  $\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} =\sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{i} b_{j} c_{k}.$

• Векторное произведение двух пространственных векторов записывается через этот символ:

  $\vec{a} \times \vec{b} =\sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \vec{e}^{\ i} a^j b^k = \vec{c}$, где $c_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a^j b^k$ - его компоненты, а $\ \vec{e}^{\ i}$ - векторы базиса.

• Смешанное произведение векторов тоже:

  $\left[\vec{a}\vec{b}\vec{c}\right] = \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k .$

• В следующей формуле δ обозначает дельту Кронекера:

  $\varepsilon_{ijk}\varepsilon^{lmn} = \begin{vmatrix} \delta_i^l & \delta_i^m& \delta_i^n\\ \delta_j^l & \delta_j^m& \delta_j^n\\ \delta_k^l & \delta_k^m& \delta_k^n\\ \end{vmatrix}.$

(Везде здесь в случае ортонормированного базиса все индексы можно просто переписать как нижние.)

Обобщение на случай n измерений

Символ Леви-Чивиты может быть легко обобщён на любое количество измерений больше единицы, если пользоваться определением через чётность перестановок индексов:

$\varepsilon_{ijk\ell\dots} = \left\{ \begin{matrix} ~ \\ ~ \\ ~ \end{matrix} \right.$	$+\sqrt{g},$ если $(i,j,k,\ell,\dots)$ есть чётная перестановка набора $(1,2,3,4,\dots)\;;$
	$-\sqrt{g},$ если $(i,j,k,\ell,\dots)$ есть нечётная перестановка набора $(1,2,3,4,\dots)\;;$
	0, если хотя бы два индекса совпадают.

То есть он равен знаку (signum) перестановки, умноженному на корень из определителя метрики $\ \sqrt{g} = \sqrt{det\{g_{ij}\}}$ в случае, когда индексы принимают значения, реализующие перестановку набора (1,2,3,…,n), а в остальных случаях ноль. (Как видим, количество индексов равно размерности пространства n).

• В псевдоевклидовых пространствах в случае, если сигнатура метрики такова, что $\ g < 0$, вместо него как правило берут $\ -g$, чтобы $\sqrt{g}$ получался вещественным.

• Во всех размерностях, где символ Леви-Чивиты определён, он представляет тензор (имеется в виду главным образом то, что надо проследить за тем, чтобы количество индексов символа совпадало с размерностью пространства). Кроме того, как видно из написанного выше, какие-то трудности с обычным определением символа Леви-Чивиты могут быть в пространствах, где не определен метрический тензор, или, скажем, $\ det\{g_{ij}\} = 0$ или $\ det\{g^{ij}\} = 0$.

Можно показать, что для n измерений выполняются свойства, аналогичные трёхмерным:

• $\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon^{ijk\dots} = n!$

- что связано с тем, что существует n! перестановок набора (1,2,3,…,n), а следовательно столько же ненулевых компонент ε с n индексами.

• $\varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon^{pqr\dots} = \det \begin{vmatrix} \delta_i^p & \delta_i^q & \delta_i^r & \dots \\ \delta_j^p & \delta_j^q & \delta_j^r & \dots \\ \delta_k^p & \delta_k^q & \delta_k^r & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{vmatrix}.$

После раскрытия определителя появляется множитель n! и производятся упрощения в соответствующих символах Кронекера.

• Псевдоскалярное произведение двух векторов в двумерном пространстве:

  ${\vec a \vee \vec b} =\sum_{i,j=1}^2 \varepsilon_{ij} a^i b^j$

• Определитель матрицы A размера n×n можно удобно записать с использованием n-мерного символа Леви-Чивиты

  $det\ A \ = \sum_{i,j,k,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijk\ldots} A_{1i} A_{2j} A_{3k} \cdots = \sum_{i_1,i_2,i_3,\ldots,i_n=1}^n \varepsilon_{i_1 i_2 i_3 \cdots i_n} A_{1 i_1} A_{2 i_2} A_{3 i_3} \cdots A_{n i_n}$

что является по сути просто переписанным с помощью этого символа определением определителя (одним из самых распространенных). Здесь базис подразумевается стандартным, и ненулевые компоненты $\ \varepsilon_{ijk\ldots}$ принимают тут значения ±1.

• прямое n-мерное обобщение векторного произведения (n - 1) штук (n-мерных) векторов:

$\vec{p} = {\vec a \times \vec b \times \vec c \cdots} = \sum_{i,j,k,m,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijkm\ldots} \vec f^i a^j b^k c^m \cdots$,

где $p_i = \sum_{j,k,m,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijkm\ldots} a^j b^k c^m \cdots$ - его компоненты, а $\vec{f}^{\ i}$ - базисные векторы. (Здесь для краткости записано выражение для ковариантных компонент и разложение в дуальном базисе).

• прямое n-мерное обобщение смешанного произведения n штук (n-мерных) векторов:

  $\left[\vec{a}\vec{b}\vec {c}\cdots\right] = \sum_{i,j,k,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijk\ldots} a^i b^j c^k\cdots$

Безындексная запись (для n измерений)

В безындексной тензорной записи символ Леви-Чивиты заменяется оператором дуальности, называемым звёздочка Ходжа, или просто оператор звездочка:

$(*\eta)_{i_1,i_2,\ldots,i_{n-k}}=\frac{1}{k!} \eta^{j_1,\ldots,j_k}\varepsilon_{j_1,\ldots,j_k,i_1,\ldots,i_{n-k}}$

(для произвольного тензора $\! \eta,$ учитывая эйнштейновское правило суммирования).

См. также

• Дельта Кронекера
• Метрический тензор
• Символ Кристоффеля

Ссылки

• Hermann R. (ed.), Ricci and Levi-Civita’s tensor analysis papers, (1975) Math Sci Press, Brookline (определение символа — см. стр. 31).
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (См. параграф 3.5 для обзора применения тензоров в общей теории относительности).
• Русский перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация, (1977) Москва, «Мир» (См. по указателю — Леви-Чивиты тензор).