- Теорема Коши о среднем значении
-
Теорема Коши́ о среднем значении.
Пусть даны две функции и такие, что:
- и определены и непрерывны на отрезке ;
- производные и конечны на интервале ;
- производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале
- ;
тогда существует , для которой верно:
.
(Если убрать условие 4, то необходимо, например, усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале .)
Геометрически это можно переформулировать так: если и задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами и , найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от до .
Доказательство
Для доказательства введём функцию
Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции равна нулю, а равна как раз необходимому числу.
См. также
- Огюстен Луи Коши
- Формула конечных приращений — частный случай теоремы Коши (при ).
Категории:- Математический анализ
- Теоремы
- Доказательства
Wikimedia Foundation. 2010.