Момент инерции

Момент инерции
$J = \int r^2 \mathrm dm$
Размерность	L2M
Единицы измерения
СИ	кг·м²
СГС	г·cм²

У этого термина существуют и другие значения, см. Момент.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

Осевой момент инерции

Осевые моменты инерции некоторых тел.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

$J_a=\sum_{i=1}^n m_i r_i^2\,\!$,

где:

• m_i — масса i-й точки,
• r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

$J_a=\int\limits_{(m)} r^2dm=\int\limits_{(V)} \rho r^2dV\,\!$,

где:

• $dm=\rho dV$ — масса малого элемента объёма тела $dV$,
• $\rho$ — плотность,
• $r$ — расстояние от элемента $dV$ до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

$J_a=\rho\int\limits_{(V)} r^2dV\,\!$

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Основная статья: Теорема Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

$~J=J_c+md^2$,

где $~m$ — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

$~J=J_c+md^2=\frac{1}{12}ml^2+m\left(\frac{l}{2}\right)^2=\frac{1}{3}ml^2$

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения

Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции Ja
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная	$~mr^2$
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра	$~mr^2$
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра	$\frac{1}{2}mr^2$
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1	Ось цилиндра	$m \frac{r_2^2+r_1^2}{2}$
	Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс	${1 \over 4} m \cdot r^2 + {1 \over 12} m \cdot l^2$
	Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс	${1 \over 2} m \cdot r^2 + {1 \over 12} m \cdot l^2$
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс	$\frac{1}{12}ml^2$
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец	$\frac{1}{3}ml^2$
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы	$\frac{2}{3}mr^2$
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара	$\frac{2}{5}mr^2$
	Конус радиуса r и массы m	Ось конуса	$\frac{3}{10}mr^2$
	Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину	$\frac{1}{24}m(a^2+12h^2)$
	Правильный треугольник со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс	$\frac{1}{12}ma^2$
	Квадрат со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс	$\frac{1}{6}ma^2$

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы  

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ_i. Тогда

$J = \sum dJ_i = \sum R^2_idm. \qquad (1)$

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

$J = \sum R^2dm = R^2\sum dm = mR^2.$

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы  

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R₁, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

$dm = \rho dV = \rho \cdot 2\pi rhdr; \qquad dJ = r^2dm = 2\pi\rho h r^3dr.$

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

$\begin{align} J & = \int^R_{R_1}dJ = 2\pi\rho h\int^R_{R_1}r^3dr = 2\pi\rho h \left. \frac{r^4}{4} \right|^R_{R_1} = \\ & = \frac{1}{2}\pi\rho h \left (R^4-R^4_1 \right) = \frac{1}{2}\pi\rho h \left (R^2-R^2_1 \right) \left (R^2+R^2_1 \right) .\end{align}$

Поскольку объём и масса кольца равны

$V = \pi \left (R^2-R^2_1 \right) h; \qquad m = \rho V = \pi\rho \left (R^2-R^2_1 \right) h,$

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

$J = \frac{1}{2}m \left( R^2+R^2_1 \right).$

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы  

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R₁ = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

$J = \frac{1}{2}mR^2.$

Сплошной конус

Вывод формулы  

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

$r = \frac{Rh}{H},$

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

$dm = \rho V = \rho \cdot \pi r^2 dh;$

$dJ = \frac{1}{2}r^2dm = \frac{1}{2}\pi \rho r^4 dh = \frac{1}{2}\pi \rho \left( \frac{Rh}{H} \right)^4 dh;$

Интегрируя, получим

$\begin{align} J & = \int^H_0 dJ = \frac{1}{2}\pi \rho \left( \frac{R}{H} \right)^4 \int^H_0 h^4 dh = \frac{1}{2}\pi \rho \left( \frac{R}{H} \right)^4 \left. \frac{h^5}{5} \right|^H_0 = \\ & = \frac{1}{10}\pi \rho R^4H = \left( \rho \cdot \frac{1}{3}\pi R^2H \right)\frac{3}{10}R^2 = \frac{3}{10}mR^2. \end{align}$

Сплошной однородный шар

Вывод формулы  

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

$r = \sqrt{R^2-h^2}.$

Масса и момент инерции такого диска составят

$dm = \rho dV = \rho \cdot \pi r^2 dh;$

$dJ = \frac{1}{2}r^2dm = \frac{1}{2} \pi\rho r^4 dh = \frac{1}{2} \pi\rho \left( R^2-h^2 \right)^2 dh = \frac{1}{2} \pi\rho \left( R^4-2R^2h^2+h^4 \right) dh.$

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

$\begin{align} J & = \int^R_{-R}dJ = 2\int^R_0 dJ = \pi\rho\int^R_0 \left( R^4-2R^2h^2+h^4 \right) dh = \\ & = \pi\rho \left. \left( R^4h- \frac{2}{3}R^2h^3 + \frac{1}{5}h^5 \right) \right|^R_0 = \pi\rho \left( R^5 - \frac{2}{3}R^5 + \frac{1}{5}R^5 \right) = \frac{8}{15}\pi \rho R^5 = \\ & = \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \rho \right) \cdot \frac{2}{5} R^2 = \frac{2}{5} m R^2. \end{align}$

Тонкостенная сфера

Вывод формулы  

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

$J_0 = \frac{2}{5}MR^2 = \frac{8}{15}\pi \rho R^5.$

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

$\begin{align} J & = \frac{dJ_0}{dR}dR = \frac{d}{dR} \left( \frac{8}{15}\pi \rho R^5 \right) dR = \\ & = \frac{8}{3}\pi \rho R^4 dR = \left( \rho \cdot 4 \pi R^2 dR \right) \frac{2}{3} R^2 = \frac{2}{3} mR^2 \end{align}$

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы  

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

$dm = \frac{mdr}{l}; \qquad dJ = r^2dm = \frac{mr^2dr}{l}.$

Интегрируя, получим

$J = \int^{l/2}_{-l/2} dJ = 2\int^{l/2}_0 dJ = \frac{2m}{l}\int^{l/2}_0 r^2dr = \frac{2m}{l} \left. \frac{r^3}{3} \right|^{l/2}_0 = \frac{2m}{l} \frac{l^3}{24} = \frac{1}{12}ml^2.$

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы  

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

$J = J_0+mr^2 = J_0+m \left( \frac{l}{2} \right)^2 = \frac{1}{12}ml^2 + \frac{1}{4}ml^2 = \frac{1}{3}ml^2.$

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников^[1][2]

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr²). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра. ^[3][4]

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

$J_{xy}=\int\limits_{(m)} xydm=\int\limits_{(V)} xy\rho dV\,\!$

$J_{xz}=\int\limits_{(m)} xzdm=\int\limits_{(V)} xz\rho dV\,\!$

$J_{yz}=\int\limits_{(m)} yzdm=\int\limits_{(V)} yz\rho dV\,\!$

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции J_xy и J_xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Геометрический момент инерции

Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида

$J_y = \int_{F}^{} z^2dF$

$J_z = \int_{F}^{} y^2dF$

где $z$ — расстояние от центральной оси $y(z)$ до любой элементарной площадки $dF$ относительно нейтральной оси.

Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.

Единица измерения СИ — м⁴. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см⁴.

Из него выражается момент сопротивления сечения:

$W=\frac{J}{r_{max}}$.

Геометрические моменты инерции некоторых фигур
Прямоугольника высотой $h$ и шириной $b$:	$J_y =\frac{bh^3}{12}$ $J_z =\frac{hb^3}{12}$
Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам $H$ и $B$, а по внутренним $h$ и $b$ соответственно	$J_z =\frac{BH^3}{12}-\frac{bh^3}{12}=\frac{1}{12}(BH^3-bh^3)$ $J_y =\frac{HB^3}{12}-\frac{hb^3}{12}=\frac{1}{12}(HB^3-hb^3)$
Круга диаметром $d$	$J_y=J_z =\frac{\pi d^4}{64}$

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции $~J_O$ (или момент инерции относительно точки O) — это величина

$J_a=\int\limits_{(m)} r^2dm=\int\limits_{(V)} \rho r^2dV\,\!$,

где:

• $~dm=\rho dV$ — масса малого элемента объёма тела $dV$,
• $~\rho$ — плотность,
• $~r$ — расстояние от элемента $dV$ до точки O.

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: $~J_O=J_{xy}+J_{yz}+J_{xz}=\frac{1}{2}\left(J_x+J_y+J_z\right)$.

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором $~\vec s = \left \Vert s_x , s_y , s_z \right \Vert^T ,\left \vert \vec s \right \vert=1$, можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

$~ I_s= \vec s^T \cdot \hat J \cdot \vec s \qquad$ (1),

где $~ \hat J$ — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры $~ 3 \times 3$ и состоит из компонент центробежных моментов:

$~ \hat J = \left \Vert \begin{array}{ccc} J_{xx} & -J_{xy} & -J_{xz} \\ -J_{yx} & J_{yy} & -J_{yz} \\-J_{zx} & -J_{zy} & J_{zz} \end{array} \right \Vert$ , $~ J_{xy}= J_{yx}, J_{xz}= J_{zx}, J_{zy}= J_{yz},$
$~J_{xx}=\int\limits_{(m)} (y^2+z^2)dm , J_{yy}=\int\limits_{(m)} (x^2+z^2)dm, J_{zz}=\int\limits_{(m)} (x^2+y^2)dm$.

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора $~ \hat J$:
$~ \hat J_d = \hat Q^T \cdot \hat J \cdot \hat Q ;$ $~ \hat J_d = \left \Vert \begin{array}{ccc} J_{X} & 0 & 0 \\ 0 & J_{Y} & 0 \\0 & 0 & J_{Z} \end{array} \right \Vert$,
где $~ \hat Q$ — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины $~ J_{X},J_{Y},J_{Z}$ — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

$~ I_s= J_{X} \cdot s_x^2 +J_{Y} \cdot s_y^2 + J_{Z} \cdot s_z^2$,

откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на $~ I_s$

$~ \left ( {s_x \over \sqrt {I_s}}\right )^2 \cdot J_{X} + \left ( {s_y \over \sqrt {I_s}}\right )^2 \cdot J_{Y} + \left ( {s_z \over \sqrt {I_s}}\right )^2 \cdot J_{Z} =1$

и произведя замены:

$~ \xi= {s_x \over \sqrt {I_s}}, \eta= {s_y \over \sqrt {I_s}}, \zeta= {s_z \over \sqrt {I_s}}$,

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах $~ \xi \eta \zeta$:

$~ \xi^2 \cdot J_{X} + \eta^2 \cdot J_{Y} + \zeta^2 \cdot J_{Z} =1$

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

$~ r^2 = \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = \left ( {s_x \over \sqrt {I_s}}\right )^2 + \left ( {s_y \over \sqrt {I_s}}\right )^2 + \left ( {s_z \over \sqrt {I_s}}\right )^2 = {1 \over I_s}$

См. также

• Движение твёрдого тела
• Метод главных компонент
• Сопротивление материалов
• Теорема Штейнера
• Механические приложения тройного интеграла
• Механические приложения двойного интеграла
• Полярный момент инерции
• Список моментов инерции

Примечания

1. ↑ Planetary Fact Sheet
2. ↑ Showman, Adam P.; Malhotra, Renu (1999). «The Galilean Satellites» (PDF). Science 286 (5437): 77–84. DOI:10.1126/science.286.5437.77. PMID 10506564.
3. ↑ Галкин И.Н. Внеземная сейсмология. — М.: Наука, 1988. — С. 42-73. — 195 с. — (Планета Земля и Вселенная). — 15 000 экз. — ISBN 502005951X
4. ↑ Пантелеев В. Л. Физика Земли и планет. Гл. 3.4 — Гравитационное поле планеты

Литература

• Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.) http://www.alleng.ru/d/phys/phys108.htm
• Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
• Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997. http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1186208&s=120000000
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys99.htm
• Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys103.htm
• Беляев Н. М., Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.

Ссылки

	Момент инерции на Викискладе?

• Определение момента инерции тел простой формы
• Осевые моменты инерции, моменты сопротивления и радиусы инерции плоских фигур
• Online Калькулятор осевых моментов инерции, моментов сопротивления и радиусов инерции плоских фигур