Уравнитель (математика)

В теории категорий ура́внитель (ядро́ ра́зности) морфизмов — это обобщение понятия решения некоторого (алгебраического, дифференциального и т. п.) уравнения, то есть множества, на котором данные отображения совпадают.

Определение

Уравнитель морфизмов $f\colon X\to Y$ и $g\colon X\to Y$ — это предел (если он существует) диаграммы $\downarrow\downarrow$, то есть такой морфизм $eq\colon E\to X$, что $f\circ eq = g\circ eq$ и для любого морфизма $m\colon O\to X$ существует единственный морфизм $u\colon O \to E$, для которого следующая диаграмма коммутативна:

Равносильно, уравнитель можно определить как коуниверсальный квадрат для морфизмов $f\colon X\to Y$ и $g\colon X\to Y$.

Примеры

• В категории множеств $\mathcal{S}et$ уравнитель двух отображений $f$ и $g$ — это естественное вложение во множество $a$ множества, на котором $f$ и $g$ совпадают, то есть множества $\{ x\in a: f(x) = g(x)\}$.
• Аналогичным образом определяется уравнитель в категории $\mathcal{T}op$ топологических пространств.
• В категории абелевых групп $\mathcal{A}b$ уравнитель гомоморфизмов совпадает с ядром их разности. Именно поэтому уравнитель в произвольной категории также иногда называют ядром разности, хотя в не предаддитивной категории, вообще говоря, разность морфизмов не определена.

Литература

• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

См. также

• Коуравнитель — двойственное уравнителю понятие.