- Уравнение Коши — Эйлера
-
Уравнение Коши — Эйлера
В математике ( дифференциальных уравнениях), уравнение Коши — Эйлера (Эйлера — Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения (см. линейное дифференциальное уравнение), приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, которое имеет простой алгоритм решения.
Содержание
Уравнение порядка n
Общий вид уравнения :
- .
Его частный случай :
- .
Подстановка
Подстановка вида т.е. приводит уравнение к виду линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Действительно, заметим, что , и .
В соответствии с этим:
откуда
таким образом
Вычислим очередную производную сложной функции
- ,
что приводит к
- .
и далее
что, аналогично, приводит к
Эта цепь вычислений может быть продолжена до любого порядка n
Пример
Дано неоднородное уравнение
- .
Определив подстановку (), приходим к уравнению
- .
После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
- ,
решение которого имеет вид
или в терминах
Уравнение второго порядка
Общий вид уравнения :
- .
Его частный случай :
- .
Подстановкой т.е.
или, соответственно,- т.е.
приводится к виду линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- .
или, соответственно,
- .
Пример
Дано неоднородное уравнение
- .
Определив подстановку (), приходим к уравнению
- .
После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
- ,
решение которого имеет вид
или в терминах
Ещё один способ решения однородного уравнения второго порядка
Рассмотрим однородное уравнения второго порядка вида:
- .
Его решениями являются функции вида:
,
где r - решения характеристического уравнения
- ,
которое совпадает с характеристическим уравнением однородного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного из исходного уравнения путём описаной выше заменой переменной.
Пример
Дано однородное уравнение
- .
Характеристическое уравнение которого имеет вид
- ,
с решениями , .
Тогда общее решение однородного уравнения
- .
Wikimedia Foundation. 2010.