Уравнение движения

Уравнение движения

Уравне́ние движе́ния (уравнения движения) — уравнение или система уравнений, задающие закон эволюции механической или сходной динамической системы (например, поля) во времени[1].

Эволюция физической системы однозначно определяется уравнениями движения и начальными условиями.

Содержание

Введение

В уравнения движения динамической системы входит полный набор переменных, определяющий состояние этой системы (например, все координаты и скорости, или все координаты и импульсы), а также их производные по времени, что позволяет, зная такой набор в некий момент времени, вычислить его для момента времени, отстоящего на малый (бесконечно малый) промежуток времени. В принципе, повторяя этот процесс вычисления последовательно большое (бесконечное) количество раз, можно вычислить значение всех этих переменных для момента времени, как угодно[2] далеко отстоящего от начального. С помощью такого процесса можно (выбрав \Delta t достаточно малым, но конечным) получить приближенное численное решение уравнений движения. Однако чтобы получить точное[3] решение, приходится применять другие математические методы.

В современной квантовой теории термин уравнение движения нередко используется для обозначения именно только классических уравнений движения, то есть как раз для различения классического и квантового случая. В таком употреблении, например, слова «решение уравнений движения» означают именно классическое (неквантовое) приближение, которое может затем так или иначе использоваться при получении квантового результата или для сравнения с ним. В этом смысле уравнения эволюции волновой функции не называют уравнениями движения, например упомянутые ниже уравнение Шредингера и уравнение Дирака нельзя назвать уравнением движения электрона. Определенную ясность тут вносит дополнение, указывающее на то, об уравнении движения чего идет речь: так, хотя уравнение Дирака нельзя назвать уравнением движения электрона, его можно, даже в смысле, обсуждаемом в этом абзаце, назвать классическим уравнением движения спинорного поля.

Примеры

Простой механический пример

Рассмотрим в рамках ньютоновской механики точечную частицу, способную перемещаться лишь по одной прямой (например, бусину, способную скользить по гладкой спице). Будем описывать положение частицы на прямой единственным числом — координатой — x. Пусть на эту частицу действует (например, со стороны некоторой пружины) сила f, зависящая от положения частицы по закону Гука, то есть, выбрав удобное начало отсчета x, можем записать f = — k x. В таком случае, учитывая второй закон Ньютона и кинематические соотношения, обозначив скорость как v, будем иметь следующие уравнения движения для нашей системы:

~dv/dt = - (k/m) x
~dx/dt = v ,

или, исключая v из системы:

~d^2 x/d t^2 = - (k/m) x

Подставив начальную координату и скорость в правые части этих уравнений, и заменив бесконечно малое dt на малое, но конечное, \delta t, и переписав приближенно в соответствии с этим уравнения в первой форме — в виде величина(t+\delta t) = величина(t) + производная·\delta t, получим:

~v(t+\delta t) = v(t) - (k/m) x(t) \delta t
~x(t+\delta t) = x(t) + v(t) \delta t ,

и переходя от предыдущего момента к следующему (каждый раз время растет на \delta t), можем получить численное решение этих уравнений движения в виде таблицы {x(0),v(0); x(\delta t),v(\delta t); x(2\delta t),v(2\delta t); \dots;  x(n\delta t),v(n\delta t);}, приближенно представляющей зависимость x(t) и v(t) от времени (с шагом \delta t). Можно увидеть, что, если \delta t было выбрано достаточно малым, что x(t) и v(t) очень близко совпадают с функцией const \cdot \cos(\sqrt{k/m}\cdot t + const').

Использовав для догадки это приближенное решение или какие-то другие соображения, можем, если мы уже подозреваем, каким должно быть решение, просто подставить

~x = A \cos(\omega t + \phi),

где A, \omega, \phi — просто постоянные, в точные уравнения движения, взяв нужные производные по времени от этого выражения. При этом мы смоожем убедиться, что нетрудно подобрать конкретные значения A, \omega, \phi, чтобы равенство при этой подстановке выполнялось, а также найти необходимые для этого значения A, \omega, \phi (оказывается, A и \phi могут быть любыми, а \omega = \sqrt{k/m}. Мы получили таким образом точное решение уравнений движения, да еще и общее точное решение (то есть подходящее для любых начальных условий, в чём нетрудно убедиться).

Теперь, имея это общее точное решение, мы можем выбрать из множества общих решений (с разными A и \phi) частное решение, удовлетворяющее конкретным начальным условиям. Так мы решим задачу для заданного уравнения движения и начальных условий.

Так иллюстрируется понятие уравнения движения (уравнений движения) и их решения на конкретном простом примере.

Примеры уравнений движения в разных областях физики

Примечания

  1. Когда говорят об уравнениях движения в общеупотребительном смысле, подразумеваются дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения (хотя некоторые другие типы уравнений, например разностные — для дискретных систем — могут представлять собой достаточно близкую аналогию).
  2. Слова «принципе как угодно далеко» означают, что это верно вообще говоря лишь для математической модели (которая всегда лишь с некоторой погрешностью описывает физическую реальность), при этом с абсолютно точно заданными начальными данными; в реальности корректность предсказания состояния системы с помощью уравнений движения на длительный срок вперед определяется погрешностями записи самих уравнений (по сравнению с описываемой ими реальностью), погрешностью задания начальных данных и устойчивостью решений данного конкретного вида уравнений; тем не менее в ряде случаев (хотя и далеко не во всех) на практике предсказание с помощью уравнений движения бывает весьма точным на достаточно больших временных промежутках (как например в небесной механике) или хотя бы удовлетворительным.
  3. Под точным решением, конечно, подразумевается «точное в рамках математической модели», то есть не рассматривая погрешность в написании самих уравнений; могло бы показаться, что получением точных решений незачем заботиться, раз уже и сами уравнения не абсолютно точно отражают физическую реальность, однако, не говоря уж о том, что зачастую погрешность модели достаточно мала и точные в математическом смысле решения, достаточно точны тогда и в физическом, точные решения обладают как правило еще одним преимуществом: они записываются в виде формул в такой форме, которая позволят гораздо удобнее их использовать в дальнейших вычислениях и анализе, что важно и для практики и для теоретического осмысления, ведь одно точное решение с несколькими параметрами представляет собой запись бесконечного семейства единичных решений.

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Уравнение движения" в других словарях:

  • уравнение движения — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN equation of motion …   Справочник технического переводчика

  • уравнение движения — judėjimo lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. equation of motion vok. Bewegungsgleichung, f rus. уравнение движения, n pranc. équation de mouvement, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Уравнение движения сплошной среды — векторное уравнение, выражающее баланс импульса для сплошной среды. Содержание 1 Историческая справка 2 Общий вид уравнения …   Википедия

  • уравнение движения жидкости — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN flow equation …   Справочник технического переводчика

  • УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ СУДНА — математическое выражение условий динамичного равновесия, согласно которым сумма проекций всех действующих на судно сил (моментов), в т. ч. инерционных, на каждую из осей координат равна нулю. В совокупности представляют систему обыкновенных… …   Морской энциклопедический справочник

  • Уравнение Дирака — релятивистски инвариантное уравнение движения для би спинорного классического поля электрона, применимое также для описания других точечных фермионов со спином 1/2; установлено П. Дираком в 1928. Содержание 1 Вид уравнения 2 Физический смысл …   Википедия

  • Уравнение Мещерского — Уравнение Мещерского  основное уравнение в механике тел переменной массы, полученное И. В. Мещерским для материальной точки переменной массы (состава) Уравнение обычно записывается в следующем виде: , где: m  масса… …   Википедия

  • Уравнение Вейля — Уравнение Вейля  уравнение движения для безмассовой двухкомпонентной (описываемой двухкомпонентным спинором) частицы со спином 1/2. Оно представляет собой частный случай уравнения Дирака для безмассовой частицы. Уравнения Вейля имеют… …   Википедия

  • уравнение пограничного слоя — Уравнение движения в пограничном слое [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN boundary layer equation …   Справочник технического переводчика

  • Уравнение Эйлера — Уравнения Эйлера  Лагранжа (в физике также уравнения Лагранжа  Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»