Уравнение Власова

Уравнение Власова — система уравнений, описывающих динамику плазмы заряженных частиц с учётом дальнодействующих кулоновских сил посредством самосогласованного поля. Впервые предложена А. А. Власовым в статье^[1] и позднее излагается в монографии^[2].

Проблемы газокинетического подхода

В своей работе Власов сначала указывает на неприменимость газокинетического подхода, основанного на уравнении Больцмана (предполагается, что интеграл столкновений зависит только от парных столкновений), к описанию динамики плазмы с кулоновским взаимодействием. Он отмечает следующие проблемы, возникающие при попытке применения теории основанной на парных столкновений к описанию плазмы:

1. приближение парных столкновений не согласуется с исследованиями Рэлея и Ленгмюра и Тонкса, которые предсказали и исследовали ленгмюровские волны в электронной газовой плазме.^[3][4]
2. приближение парных столкновений формально не применима к кулоновскому взаимодействию из-за расходимости полного сечения рассеивания.
3. приближение парных столкновений не позволяет объяснить эксперименты Меррилла и Вебба об аномальном рассеянии электронов в газовой плазме.^[5]

В качестве причины возникновения этих проблем Власов указывает на дальнодействующий характер кулоновских сил, что приводит к взаимодействию каждой из частиц с совокупностью других частиц. Дальнодействие в этом случае означает, что радиус влияния этой силы больше чем среднее расстояние между частицами.

Уравнения Власова — Максвелла

Власов изначально рассматривал систему общих уравнений плазмы, включающих три компоненты (электроны, ионы и нейтральные атомы), и записывал уравнение Больцмана для s-ой компоненты плазмы в виде

$\frac{\partial f_s}{\partial t} + \mathrm{div}_{\mathbf{r}}\vec{v} f_s +\frac{e_s}{m_s}\left(\vec{E}+\frac{1}{c}[\vec{v},\vec{B}]\right)\mathrm{grad}_{\mathbf{v}}f_s = \left[\frac{\partial f_s}{\partial t}\right]^{st}_{s1}+\left[\frac{\partial f_s}{\partial t}\right]^{st}_{s2}+\left[\frac{\partial f_s}{\partial t}\right]^{st}_{s3}.$

где $f_s(\vec{r},\vec{p},t)$ — функция распределения. Эта система уравнений включала также уравнения Максвелла, и уравнения для заряда и тока выраженные через функции распределения $f_s$. Так как Власов интересовался только волновыми решениями, то он пренебрёг вкладами интегралов столкновений, поскольку по оценкам выходило, что частоты плазменных волн много больше частот парных столкновений частиц в плазме. То есть вместо описания взаимодействия заряженных частиц в плазме посредством столкновений, предложил использовать самосогласованное поле, созданное заряженными частицами плазмы для описания длиннодействующего потенциала. Вместо уравнения Больцмана Власов предлагает использовать следующую систему уравнений для описания заряженных компонент плазмы (электронов с функцией распределений $f_e(\vec{r},\vec{p},t)$ и положительных ионов с функцией распределения $f_i(\vec{r},\vec{p},t)$):

$\frac{\partial f_e}{\partial t} + \vec{v} \frac{\partial f_e}{\partial\vec{x}} - e\Bigl(\vec{E}+\frac{1}{c}[\vec{v},\vec{B}]\Bigr) \frac{\partial f_e}{\partial\vec{p}} = 0$

$\frac{\partial f_i}{\partial t} + \vec{v} \frac{\partial f_i}{\partial \vec{x}} + e\Bigl(\vec{E}+\frac{1}{c}[\vec{v},\vec{B}]\Bigr) \frac{\partial f_i}{\partial \vec{p}} = 0$

${\rm rot}\vec{B}=\frac{4\pi\vec{j}}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t},\quad {\rm rot}\vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$

${\rm div}\vec{E}=4\pi\rho,\quad {\rm div}\vec{B}=0$

$\rho=e\int(f_i-f_e)d^3\vec{p},\quad \vec{j}=e\int(f_i-f_e)\vec{v}d^3\vec{p}$

Здесь $e$ — заряд электрона, $c$ — скорость света, $\vec{E}(\vec{r},t)$ и $\vec{B}(\vec{r},t)$ — самосогласованные электрическое и магнитное поля, созданные в точке $\vec{r}$ в момент времени $t$ всеми заряженными частицами плазмы. Существенное отличие этой системы уравнений от уравнений движения заряженных частиц во внешнем электромагнитном поле в том, что само самосогласованное электромагнитное поле сложным образом зависит от функций распределения ионов и электронов.

Уравнения Власова — Пуассона

Уравнения Власова — Максвелла являются системой нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Если флуктуации функций распределения относительно равновесного состояния невелики, эта система уравнений может быть линеаризована. Линеаризация даст систему уравнений Власова — Пуассона, описывающую динамику плазмы в самосогласованном электростатическом поле. Уравнения Власова — Пуассона являются системой уравнений Власова для каждой компоненты плазмы (рассматриваем нерелятивистский предел):

$\frac{\partial f_{\alpha}}{\partial t} + \vec{v} \cdot \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \vec{x}} + \frac{q_{\alpha}\vec{E}}{m_{\alpha}} \cdot \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial \vec{v}} = 0,$

и уравнения Пуассона для самосогласованного электрического поля:

$\nabla \cdot \vec{E} = -\Delta\phi = 4 \pi \rho.$

Здесь $q_{\alpha}$ — электрический заряд и $m_{\alpha}$ — масса частиц плазмы, $\vec{E}(\vec{x},t)$ — самосогласованное электрическое поле, $\phi(\vec{x}, t)$ — потенциал самосогласованного электрического поля и $\rho$ — плотность электрического заряда.

Примечания

1. ↑ А. А. Власов. О вибрационных свойствах электронного газа // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1938. — Т. 8 (3). — С. 291.
2. ↑ А. А. Власов. Теория вибрационных свойств электронного газа и ее приложения // Уч. зап. МГУ. — 1945. — В. 75. Кн. 2. Ч. 1.
3. ↑ Rayleigh , Phil. Mag. 11, 117 (1906).
4. ↑ I. Langmuir and L. Τοnks, Phys. Rev 33, 195 (1929).
5. ↑ H. J. Merrill and H. W. Webb (1939). «Electron Scattering and Plasma Oscillations». Physical Review 55 (12). DOI:10.1103/PhysRev.55.1191. Bibcode: 1939PhRv...55.1191M.

Литература

• И. П. Базаров, П. Н. Николаев. Анатолий Александрович Власов. — Физический факультет МГУ. — М., 1999. — С. 19—26. — (Выдающиеся учёные физического факультета МГУ). — Подробное обсуждение уравнений Власова.