- Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов
-
Теорема Лейбница (признак Лейбница) — теорема об условной сходимости знакочередующихся рядов, сформулированная немецким математиком Лейбницем.
Содержание
Формулировка
Теорема формулируется следующим образом. Знакочередующийся ряд
сходится, если выполняются оба условия:
Доказательство [1]Допустим, что ряд начинается с положительного числа (в противном случае по приведённому ниже доказательству следует рассматривать сходимость ряда, начинающегося со второго члена).
2n-ая частичная сумма данного ряда равна Так как каждая сумма в скобках неположительна и то отсюда следует ограниченность 2n-ой частичной суммы сверху числом
Также та же 2n-ая сумма равна Каждая сумма в скобках неотрицательна. Отсюда следует неубывание последовательности то есть для любого выполняется
Из первого предложения доказательства эта последовательность ограничена сверху. Значит, существует такое число s, что
Далее, так как и так как то Сумма данного ряда равна где — конечное число. Доказательство сходимости завершено.
Следствие
Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда:
Остаток сходящегося знакочередующегося ряда будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:
Доказательство [1]Последовательность монотонно возрастающая, так как а выражение неотрицательно при любом целом Последовательность монотонно убывает, так как а выражение в скобках неотрицательно. Как уже доказано при доказательстве самой теоремы Лейбница, у обеих этих последовательностей — и — совпадающий предел при Так получено и также Отсюда и Итак, для любого выполняется что и требовалось доказать.
См. также
- Признак Дирихле — обобщение признака Лейбница
Источники
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.
Примечания
- ↑ 1 2 Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. — 10-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
Признаки сходимости рядов Для знакоположительных
рядовНеобходимое условие · Основной критерий · Признак сравнения · Признак Куммера · Признак Гаусса · Радикальный признак Коши · Интегральный признак · Признак Д’Аламбера · Степенной признак · Логарифмический признак · Признак Раабе · Признак Бертрана · Признак Жамэ · Признак Ермакова · Признак Лобачевского · Признак Реткеса (англ.) · Телескопический признак Для знакочередующихся
рядовПризнак Лейбница Для рядов вида Признак Абеля · Признак Дедекинда · Признак Дюбуа-Реймона · Признак Дирихле Для функциональных рядов Признак Вейерштрасса Для рядов Фурье Признак Дини · Признак Валле-Пуссена · Признак Жордана · Признак Юнга · Признак Салема · Признак Лебега · Признак Лебега–Гергена · Признак Марцинкевича Категории:- Признаки сходимости
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.