Теорема Крылова — Боголюбова

Теорема Крылова — Боголюбова

В теории динамических систем под теоремами Крылова — Боголюбова понимаются две теоремы, утверждающие существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Теоремы доказаны математиком Н. М. Крыловым и физиком-теоретиком, математиком Н. Н. Боголюбовым.^[1][2] (переиздано в ^[3]).

Формулировка теоремы

Инвариантные меры для отображений

Теорема Крылова — Боголюбова для динамических систем утверждает, что

Пусть F — непрерывное отображение метрического компакта X в себя. Тогда на X существует F-инвариантная мера μ.

Стоит отметить, что условие F-инвариантности, F _* μ = μ, означает, что мера прообраза любого борелевского множества равна мере этого множества,

$\forall A\in \mathcal{B}(X) \quad \mu(F^{-1}(A))=\mu(A);$

при этом в случае необратимого отображения F мера F(A) не обязана равняться мере A. Например, мера Лебега инвариантна для удвоения окружности $x\mapsto 2x \mod 1$, однако мера дуги [0,1 / 3] не равна мере её образа, дуги [0,2 / 3].

Инвариантные меры для марковских процессов

Пусть X — польское пространство и пусть (P_t) — семейство вероятностей перехода некоторой однородной марковской полугруппы на X, т. е.

$\Pr [ X_{t} \in A | X_{0} = x ] = P_{t} (x, A).$

• Теорема Крылова — Боголюбова утверждает, что если существует $x\in X$, для которого семейство вероятностных мер { P_t(x, ·) | t > 0 } uniformly tight и полугруппа (P_t) удовлетворяет Feller property, то существует по крайней мере одна инвариантная мера для (P_t), т. е. такая вероятностная мера μ на X, что

$(P_{t})_{\ast} (\mu) = \mu, \quad\forall t > 0.$

Доказательство для динамических систем

Доказательство теоремы опирается на процедуру Крылова-Боголюбова — процедуру выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности временных средних произвольной начальной меры.

А именно, берётся произвольная начальная мера μ₀, и рассматривается последовательность её временных средних:

$\bar{\mu}_n=\frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} F_*^j(\mu_0).$

Временные средние являются всё более и более F-инвариантными:

$F_* \bar{\mu}_n = \bar{\mu}_n + \frac{1}{n}(F_*^n(\mu_0)-\mu_0).$

Поэтому предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности временных средних является инвариантной мерой для отображения F. Но пространство вероятностных мер на метрическом компакте X компактно (в смысле *-слабой топологии), поэтому по меньшей мере одна точка накопления у последовательности $\bar{\mu}_n$ найдётся — что и завершает доказательство.

В случае, если в качестве меры μ₀ берётся мера Дирака (сосредоточенная в типичной начальной точке) или мера Лебега, сходимость последовательности $\bar{\mu}_n$ соответствует существованию меры Синая-Рюэлля-Боуэна.

Обобщения

Точно такие же рассуждения, только связанные с усреднением по последовательности Фёльнера, позволяют доказать, что для любого непрерывного действия аменабельной группы на метрическом компакте найдётся инвариантная относительно этого действия мера.

Ссылки

1. ↑ Боголюбов Н. Н., Крылов Н. М. (1937): «Общая теория меры в нелинейной механике». — Киев.
2. ↑ N. N. Bogoliubov and N. M. Krylov (1937). «La theorie generalie de la mesure dans son application a l'etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire» (in French). Ann. Math. II 38: 65—113. Zbl. 16.86.
3. ↑ «Николай Николаевич Боголюбов. Собрание научных трудов в 12 томах. РАН. Том 1: Математика». — М.: Наука, 2005. ISBN 5-02-034463-X.