Теорема Гильберта о нулях

Теоре́ма Ги́льберта о нуля́х (теорема Гильберта о корнях, во многих языках, в том числе иногда и в русском, часто используют изначальное немецкое название Nullstellensatz, что переводится как "теорема о нулях") — теорема, устанавливающая фундаментальную связь между геометрическими и алгебраическими аспектами алгебраической геометрии, являющейся важной составной частью математики. Она связывает понятие алгебраического множества с понятием идеала в кольцах многочленов над алгебраически замкнутыми полями. Впервые доказана Давидом Гильбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313-373) и названа в его честь.

Формулировка

Пусть $K$ — алгебраически замкнутое поле (например, поле комплексных чисел). Пусть $K[X_1,\dots,X_n]$ — кольцо многочленов от переменных $X_1,\dots,X_n$ с коэффициентами из поля $K$ и пусть $I$ — идеал в том кольце. Аффинное многообразие $V(I)$, определяемое этим идеалом, состоит из всех точек $x=(x_1,\dots,x_n)\in K^n$ таких, что $f(x)=0$ для любого $f\in I$. Теорема Гильберта о нулях утверждает, что если некоторый многочлен $p\in K[X_1,\dots,X_n]$ зануляется на многообразии $V(I)$, т.е. если $p(x)=0$ для всех $x\in V(I)$, то существует натуральное число $r$ такое, что многочлен $p^r$ содержится в $I$.

Немедленным следствием является следующая "слабая теорема Гильберта о нулях": если $I$ является собственным идеалом в кольце $K[X_1,\dots,X_n]$, то $V(I)$ не может быть пустым множеством, т.е. существует общий нуль для всех многочленов данного идеала (следует из того что в противном случае многочлен $p(x)=p^r(x)=1$ имеет корни всюду на $V(I)$ в силу пустоты последнего множества). Это обстоятельство и дало имя теореме. Общий случай может быть легко выведен из "слабой теоремы" с помощью так называемого приёма Рабиновича. Предположение о том, что поле $K$ является алгебраически замкнутым, существенно: элементы собственного идеала $(X^2+1)$ в $\mathbb R[X]$ не имеют общего нуля.

Используя стандартную терминологию коммутативной алгебры теорему Гильберта о нулях можно сформулировать так: для каждого идеала $J$ справедлива формула $I(V(J))=\sqrt{J},$ где $\sqrt{J}$ является радикалом идеала $J$, а $I(U)$ является идеалом, порождённым всеми многочленами, которые зануляются на множестве $U$.

Литература

• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.
• Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО, 1999. ISBN 5-900916-32-4.