Самолёт на транспортёре

«Задача о самолёте» обычно формулируется так:

Самолет (реактивный или винтовой) стоит на взлётной полосе с подвижным покрытием (типа транспортёра). Покрытие может двигаться против направления взлёта самолёта, то есть ему навстречу. Оно имеет систему управления, которая отслеживает и подстраивает скорость движения полотна таким образом, чтобы скорость вращения колёс самолёта была равна скорости движения полотна. Вопрос: сможет ли самолёт разбежаться по этому полотну и взлететь?

Взлёт самолёта с точки зрения физики

Двигатели самолёта создают тягу за счёт отбрасывания воздуха или продуктов сгорания топлива. При этом сила тяги, преодолевая действие прочих сил, придаёт самолёту ускорение. Как только скорость самолёта относительно воздуха достигает определённой величины, подъёмная сила, возникающая на крыльях, начинает уравновешивать силу тяжести. Самолёт взлетает.

Задача была смоделирована в телепередаче Разрушители легенд (Mythbusters) с использованием реального пилотируемого самолёта и ленты соответствующего размера.^[1] В результате эксперимента самолёт взлетел^[2].

Причина широкой известности (в Интернете)

Задача знаменита тем, что часто публикуется провокаторами в каком-либо из интернет-форумов с целью поднять флейм. Почти все, кто продолжительное время активно пользуются интернет-форумами, хотя бы раз сталкивались с этой задачей и порождённым ею спором. Чтобы убедиться в широком распространении этой задачи, достаточно воспользоваться каким-либо поисковым сервисом, задав поиск по сочетанию слов «самолёт» и «транспортёр».

Условия задачи в описанной выше постановке неполны и некорректны, что создаёт неоднозначность интерпретации. Эта неоднозначность и является одной из основных причин возникающих споров. Участники спора, как правило, подходят к задаче с некоторым набором допущений и начальных условий, отстаивают тот вариант ответа, который считают правильным в рамках собственной модели, и не задумываются о множественности интерпретаций (либо только делают вид, если хотят поддержать провокацию).

При этом имеет место так называемая цепная реакция, когда обилие комментариев к этой задаче создаёт у участников форума интерес к этой ветке, а затем и желание высказать свою точку зрения.

Ссылки

поиск по ключевым словам в Yandex

поиск по ключевым словам в Google

поиск по цитате

первоначальный источник в Интернете, от 24.07.2003 (сохраненная копия), автор: StealthMan

оригинал задачи на сайте StealthMan

Пример обсуждения в англоязычном интернете

Некорректности в постановке

Скорость вращения и скорость движения. Система отсчёта

1. Физически под скоростью вращения понимается угловая скорость, имеющая размерность, отличную от размерности скорости поступательного движения. Другими словами, они не сравнимы. Поэтому как минимум необходимо выбрать какую-то точку на колесе, чтобы определить её линейную скорость. Например, точку на оси (покоящуюся относительно самолёта), либо нижнюю точку колеса (при отсутствии проскальзывания, покоящуюся относительно транспортёра).

2. Скорость измеряется относительно чего-то. В задаче не сказано, как измеряется скорость. Если скорость транспортёра разумно измерять относительно земли, то скорость самолёта можно измерять как относительно земли, так и относительно транспортёра.

3. Может возникнуть неопределённость, стоит ли сравнивать скорости только по модулю, или же требовать ещё и равенство (или противоположность) направлений.

Направление взлёта

Строго говоря, во время взлёта скорость самолёта может иметь как горизонтальную так и вертикальную составляющую. До отрыва самолёта от земли разумнее говорить о направлении разгона.

Вектор тяги двигателей, вообще говоря, может быть направлен не горизонтально.

Существуют также летательные аппараты с вертикальным взлётом, в том числе и самолёты. Самолёты с вертикальным взлётом могут отрываться от земли при наличии сравнительно небольшой и даже нулевой горизонтальной скорости. Сила тяжести уравновешивается вертикальной составляющей тяги двигателей, а необходимая для образования подъёмной силы горизонтальная скорость набирается уже в воздухе.

Невыполнимость условий

В случае, когда и транспортёр, и самолёт покоятся относительно земли, условие о равенстве скоростей выполняется в широком диапазоне интерпретаций. Но при наличии у самолёта скорости, во многих интерпретациях условие о равенстве скоростей либо становится невыполнимым вообще, либо противоречит утверждению о направленности скорости транспортёра в направлении, обратном разгону. Т.е. попытки решить данную задачу исходя из этого условия изначально бессмысленны, как (проводя аналогию, например, из химии) попытки строить логические рассуждения исходя из условия "допустим, что спирт безалкогольный".

Система управления полотном

Не указан алгоритм работы системы управления полотном. В частности, неясно, как поведёт себя автоматика, если ускорение транспортёра приведёт к ещё большему увеличению разницы скоростей. Некоторые участники спора часто предполагают, что в этом случае автоматика будет разгонять транспортёр до максимально возможной скорости.

Действия автоматики, приводящие к росту разницы скоростей, пусть даже в краткосрочной перспективе — в то время, как автоматика должна, наоборот, препятствовать этому — уже выглядят странно. Можно, конечно, предположить, что автоматика действует так с расчётом на то, что самолёт выйдет из строя. Если допустить такое неочевидное поведение автоматики, то в этом случае можно спекулировать бесконечно о результате этого «противостояния», что и имеет место на форумах, так как в условии отсутствуют данные о прочности транспортёра, колёс и т. п.

При этом колёса играют лишь роль опоры о землю, и не создают тяги, как это имеет место, например, для автомобилей.

Примеры различных интерпретаций

Сравниваются угловые скорости колёс и роликов транспортёра

Если допустить равенство угловых скоростей как по модулю, так и по направлению, а также допустить движение транспортёра в направлении разгона самолёта, условие равенства угловых скоростей, при наличии у самолёта скорости, выполняется при любом соотношении диаметров колёс и роликов.

Если считать, что угловые скорости равны по модулю и противоположны по знаку, и транспортёр может двигаться только в направлении, обратном разгону, то условие равенства скоростей, при наличии у самолёта скорости, выполняются, если диаметр колёс самолёта больше диаметра роликов.

Под скоростью колёс может подразумевается лишь мгновенная линейная скорость нижней точки колеса относительно земли

При отсутствии проскальзывания только в нижней точке колеса его линейная мгновенная скорость относительно земли может быть равна мгновенной скорости транспортера как по величине, так и по направлению, значит, именно эту скорость и следует рассматривать. Если бы самолет начал разбег относительно земли со скоростью Vs, то мгновенная скорость нижней точки колеса относительно земли уменьшилась бы и составила Vк = Vт - Vs, где Vт — мгновенная скорость транспортера относительно земли, Vк — мгновенная скорость нижней точки колеса относительно земли, Vs — скорость самолета относительно земли.

Из этого следует, что сохранение условий задачи Vк = Vт возможно только при Vs = 0. Если крылья самолета неподвижны относительно земли и окружающего воздуха, то такой самолет взлететь не сможет. Если самолет не обычный, а достаточно легкий, то подъемной силы, возникающей при обдуве крыла потоком воздуха от винта, может хватить на его взлет.

Под скоростью вращения колёс подразумевается скорость средней точки (центра) колеса относительно земли

Если считать, что равенство скоростей по модулю, но различие по знаку удовлетворяет условию, то решением будет ситуация, когда самолёт (а вместе с ним и ось) движется со скоростью V, а транспортёр — в противоположную сторону, то есть со скоростью -V. Самолет при этом взлетает, а колеса прокручиваются с удвоенной скоростью.

Если же считать, что скорости транспортёра и самолёта должны быть равны не только по модулю, но и быть направленными в одну сторону — наблюдается рассмотренное противоречие двух условий.

Под скоростью вращения колёс подразумевается скорость средней точки (центра) колеса относительно транспортёра

Равенству скоростей удовлетворяет движение транспортёра со скоростью, равной половине скорости движения самолёта, вдоль направления разгона, что нарушает условие о противоположности направления. Соблюдение сразу двух условий невозможно.

Под скоростью вращения колёс подразумевается линейная скорость движения транспортёра относительно земли в точке касания с колесом (проскальзывания нет)

Строго говоря, из такой формулировки следует, что самолёт, стоя на полотне, разгоняется с 0 до взлётной скорости, а транспортёр остаётся неподвижен. Однако, момент старта может (неявно) опускаться, и считаться, что самолёт въехал на транспортёр с некой скоростью (с неподвижного покрытия). В таком случае движущееся полотно должно разогнаться автоматикой до максимально возможной скорости.

Транспортёр не способен изменить скорость разгоняющегося по его полотну самолёта

Имеются две силы, действующие со стороны транспортёра на самолёт — это сила трения колёс о покрытие, которая ничтожна по сравнению с тягой двигателей (но не нулевая, кроме того, есть ещё сопротивление качения в подшипниках колеса!), и сила сопротивления качению вследствие момента инерции колеса, которая зависит от радиуса и массы колеса, а также ускорения, с которым его раскручивает транспортёр — $F=\frac{a\mu}{R^2}$ (a — ускорение транспортёра, R — радиус колеса, μ — момент инерции колеса), и теоретически может быть сколь угодно велика. Но для удержания даже самого лёгкого самолёта потребуется поддерживать конечное ускорение ленты транспортёра неограниченное время, что приводит к требованию развивать сколь угодно большую скорость, что физически недостижимо.

К тому же, в таком случае теоретически сколь угодно велика может быть и мощность двигателей самолёта.

Для реального колеса так же должна учитываться сила сопротивления качению вследствие деформации колеса (под весом самолёта и от центробежной силы). Но эта сила так же ничтожна по сравнению с тягой двигателей.

Вывод — транспортёр не способен удержать разгоняющийся по нему самолёт. То есть самолёт всё-таки взлетит.

Учёт вязкости воздуха

В реальных условиях, при движении полотна транспортёра навстречу самолёту начнёт двигаться и пограничный слой воздуха, прилегающий к полотну. Набегающий на самолёт воздух создаст два эффекта:

• силу лобового сопротивления воздуха, складывающуюся с силой трения качения колёс и дополнительно удерживающую самолёт в покое относительно земли,
• подъёмную силу

При некоторой скорости транспортёра скорость вызванного им «ветра» теоретически может стать достаточной для создания подъёмной силы, превышающий вес самолёта. В этом случае самолёт оторвётся от полотна и полетит.

Транспортёр можно рассматривать как «вентилятор», довольно неэффективный из-за сдвига ветра. Вследствие неэффективности обдува самолёта пограничным слоем, подобная схема взлёта является труднореализуемой — транспортёр должен быть достаточно широким и длинным, чтобы увлечь большие массы воздуха, а крылья самолёта (ультралёгкого) должны располагаться как можно ближе к полосе. Тем не менее, в качестве примера такого «микро-самолёта» можно привести магнитную головку, парящую над вращающейся поверхностью жёсткого магнитного диска или диска Бернулли.

Уход от идеальной ситуации

Колёса самолёта будут проскальзывать по полотну транспортёра

В реальности колёса не могут обеспечить идеального сцепления, поэтому скорость вращения колёс будет несколько ниже расчётной. Более того, с увеличением скорости относительно полотна, скольжение будет усиливаться. Как следствие, самолёт не будет покоиться относительно земли. А значит, самолёт вполне может взлететь.

В качестве почти доказательства — видео, отснятое на палубе авианесущего крейсера, где самолёт взлетает с неотпущенными тормозами (или не до конца отпущенными тормозами) — виден след от резины на палубе.

Самолёт взлетает по ходу движения авианосца и уже имеет определенную скорость. Плюс к этому скорость встречного ветра, что создаёт дополнительную подъёмную силу.

Очевидно что в условии задачи нарочно даны ненужные данные, чтобы отвлечь от сути вопроса. А суть проста - самолет взлетит, если на его крыло будет направлен воздушный поток необходимой силы. Если он неподвижен относительно окружающего воздуха - взлета не будет, даже если он движется относительно транспортера со скоростью многократно превышающей нужную для отрыва. Т.е. скорость вращения транспортера и вращения колес не имеет реального значения. Значение для взлета имеет только движение самолета относительно воздуха.

Примечания

1. ↑ Запись эпизода ч.1
2. ↑ Запись эпизода ч.2