Малая теорема Пикара

В теории функций комплексного переменного в честь Ш. Э. Пикара названы две теоремы, традиционно называемые большая и малая теоремы Пикара.

Малая теорема Пикара

Областью значений целой функции является вся комплексная плоскость, за исключением, быть может, лишь одной точки.

Большая теорема Пикара

Пусть функция f голоморфна в проколотой окрестности U(z₀) точки $z_0 \in \Bbb C$ и имеет в точке z₀ существенную особенность. Тогда f принимает в U(z₀) все значения, кроме, быть может, одного.

Примечания

• Фактически, малая теорема Пикара является следствием большой, так как, по теореме Лиувилля, целая функция либо является многочленом, либо имеет на бесконечности существенную особенность.
• Большая теорема Пикара допускает обобщение на случай мероморфных функций. Пусть M — риманова поверхность, $\mathbf{P}^1\Bbb{C}$ — сфера Римана, $f\colon M \ {w} \to \mathbf{P}^1\Bbb{C}$ — голоморфная функция, имеющая в точке w существенную особенность. Тогда в любой окрестности $U(w)\sub M$ точки w функция f принимает почти все значения на $\mathbf{P}^1\Bbb{C}$, за исключением не более чем двух.

Например, мероморфная функция

$f(z) = \frac{1}{1- \exp{1/z}}$

имеет существенную особенность в точке z = 0 и достигает $\infty$ в любой окрестности U(0), но нигде не равна 0 или 1.

Литература

• Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, — М.: Физматкнига, 2003. — М., Издательство МФТИ, 2003. — 208 с — ISBN 5-89155-115-9
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, — СПб.: Лань, 2004. — 336 с — ISBN 5-8114-0568-5 (ISBN 5-8114-0567-7)