Ковариантный метод

Ковариа́нтный метод — подход в теоретической физике, разработанный Ф. И. Фёдоровым на основе линейной алгебры и прямого тензорного исчисления. Получил распространение в приложении к описанию оптических явлений и, частично, в физике элементарных частиц.

Суть метода

Ковариантный метод — лаконичная математическая формулировка физических теорий, использующая тензорную алгебру. Основными областями применения метода являются теоретическая оптика и акустика. Ковариантный метод существенно упрощает громоздкие выражения, появляющиеся при описании распространения полей в сложных (анизотропных, гиротропных, бианизотропных) средах. С помощью данного метода вводится удобная в приложениях векторная параметризация группы Лоренца, которая может быть далее применена в теории элементарных частиц.

В общем случае электромагнитные и акустические поля описываются векторами. Если пространство, в котором распространяется волна, обладает симметрией, то вектор поля и тензоры, описывающие среду, могут быть заданы своими компонентами в некоторой системе координат, согласованной с симметрией системы, что обычно и применяется в оптике и акустике. Однако векторы и тензоры могут быть записаны безотносительно системы координат, просто как геометрический объекты, что и применяется в ковариантном методе. По этой причине ковариантный метод называют также бескоординатным (при решении задачи не задается конкретная система координат). Описание распространения волны в кристалле сводится к выполнению операций над тензорами и векторами, для чего разработаны методы, упрощающие работу с тензорами и явно использующие их инварианты (в трёхмерном пространстве для тензоров второй валентности это след, определитель тензора и определитель взаимного тензора). Симметрии кристалла в таком подходе выражаются как определённые соотношения между инвариантами, а описывающие кристалл тензоры имеют удобные выражения.

Виды тензоров

Основными видами тензоров трехмерного пространства, используемыми в ковариантном методе, являются

— единичный тензор $\textbf{1}$,

— проекционный оператор на направление единичного вектора $\textbf{n}$ — диада $\textbf{n}\otimes \textbf{n}$,

— проекционный оператор $I = \textbf{1} - \textbf{n}\otimes \textbf{n}$ на плоскость, ортогональную единичному вектору $\textbf{n}$,

— дуальный тензор $\textbf{n}^\times$.

Оптические кристаллы могут быть изотропными, одноосными или двуосными. Анизотропия кристаллов определяется тензором диэлектрической проницаемости, который может быть представлен в «ковариантном» виде:

1. изотропная среда $\varepsilon=\varepsilon \textbf{1}$,

2. одноосный кристалл $\varepsilon= \varepsilon_1 \textbf{1} + (\varepsilon_2 - \varepsilon_1)\textbf{c} \otimes \textbf{c}$ (вектор $\textbf{c}$ задает направление оптической оси),

3. двуосный кристалл $\varepsilon= a \textbf{1} + b(\textbf{c}' \otimes \textbf{c}''+ \textbf{c}''\otimes \textbf{c}')$.

Векторная параметризация группы Лоренца

Общая группа Лоренца может быть представлена как группа преобразований $\textbf{ }L$ вида

$L=\left( \begin{array}{cc} \alpha & i \textbf{u} \\ i \textbf{v} & k \end{array} \right)$,

удовлетворяющих условиям $\textbf{ }(\det L)^2=1$, $\textbf{ } L L^T=L^T L=1$. Матрица Лоренца $\textbf{ }L$ может быть параметризована одним трехмерным комплексным вектором $\textbf{q}$ и имеет вид

$L= \frac{(1+\textbf{q}_+)(1+\textbf{q}^\ast_-)}{|1+\textbf{q}^2|}$,

где $\textbf{q}_+$ и $\textbf{q}^\ast_-$ — четырехмерные антисимметричные матрицы, которые ставятся в соответствие комплексному трёхмерному вектору $\textbf{q}$. Указанные выше матрицы определяются вектором $\textbf{q}$ и комплексно сопряженным к нему вектором $\textbf{q}^\ast$ соответственно и равны

$\textbf{q}_+ = \left( \begin{array}{cc} \textbf{q}^\times & \textbf{q} \\ -\textbf{q} & 0 \end{array} \right), \qquad \textbf{q}^\ast_- = \left( \begin{array}{cc} \textbf{q}^{\ast\times} & - \textbf{q}^\ast \\ \textbf{q}^\ast & 0 \end{array} \right)$.

Для вектор-параметров группы Лоренца справедлив следующий закон композиции

$\textbf{q}''=\frac{\textbf{q}+\textbf{q}'+\textbf{q} \times \textbf{q}'}{1 - \textbf{q} \textbf{q}'}$.

Векторная параметризация может быть введена и для группы вращений, причем в этом случае вектор-параметры будут принадлежать действительному трёхмерному пространству, а закон их композиции будет тем же.

Применение метода

Ковариантный метод позволяет вычислять электромагнитные и акустические поля в однородных анизотропных материалах и плоскослоистых средах. Профессор кафедры теоретической физики БГУ Л. М. Барковский и сотрудники занимаются обобщением ковариантного метода. Такой обобщенный метод был назван операторным, так как основан на применении эволюционных операторов, связывающих поля в двух точках пространства. Операторный метод применим для описания слоистых систем (в том числе с цилиндрической и сферической симметрией).

Следует отметить, что ковариантный метод успешно использовался не только в работах белорусских физиков, но и в исследованиях сотрудников Института кристаллографии АН СССР^[1][2].

См. также

• Дифференциальные формы в электромагнетизме

Примечания

1. ↑ Ю.И. Сиротин, М.П. Шаскольская. Основы кристаллофизики. - М.: Наука, 1975.
2. ↑ А.Ф. Константинова, Б.Н. Гречушников, Б.В. Бокуть, Е.Г. Валяшко. Оптические свойства кристаллов. - Минск: Наука и техника, 1995.

Литература

• Ф.И. Федоров. Оптика анизотропных сред. - Минск: Из-во АН БССР, 1958; 2-е изд. М.: УРСС, 2004.
• Ф.И. Федоров. Теория упругих волн в кристаллах. - М.: Наука, 1965; New York: Plenum Press, 1968.
• Ф.И. Федоров. Теория гиротропии. - Минск: Наука и техника, 1976.
• Ф.И. Федоров, В.В. Филиппов. Отражение и преломление света прозрачными кристаллами. - Минск: Наука и техника, 1976.
• Ф.И. Федоров. Группа Лоренца. - М.: Наука, 1979; 2-е изд. М.: УРСС, 2003.
• Л.М. Барковский, А.Н. Фурс. Операторные методы описания оптических полей в сложных средах. - Минск: Белорусская наука, 2003.
• I.S. Rez. Unexampled plagiarism in the theory of electromagnetic waves. - Cryst. Res. Technol., 1988, Vol. 23, № 4, K77—K79.

Для улучшения этой статьи желательно?: Викифицировать список литературы, используя шаблон {{книга}}, и проставить ISBN. Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Добавить иллюстрации.