Кватернионный анализ

Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера^[1].

Определение регулярной функции

Рассмотрим оператор

$\bar \partial = \frac{\partial}{\partial \bar q} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec i \frac{\partial}{\partial x} + \vec j \frac{\partial}{\partial y} + \vec k \frac{\partial}{\partial z}$

Функция кватернионного переменного $f\colon \Bbb{H} \to \Bbb{H}$ называется регулярной, если

$\bar \partial f = 0$

Гармонические функции

Пусть $\bar \partial f = 0$, тогда и $\partial \bar \partial f = 0$. Несложно проверить, что оператор $\partial \bar \partial$ имеет вид

$\partial \bar \partial = \frac{\partial^2}{\partial t^2} + \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \Delta_4$

и совпадает с оператором Лапласа в $\Bbb{R}^4$. Таким образом, все компоненты регулярной кватернионной функции являются гармоническими функциями в $\Bbb{R}^4$. Обратно, можно показать, что для любой гармонической функции $\tau \colon \Bbb{R}^4 \to \Bbb{R}$ существует регулярная кватернионная функция $f$ такая, что $\tau = \operatorname{Scal}\,f$. Из свойств гармонических функций сразу следуют многие свойства регулярных кватернионных функций, в частности, принцип максимума.

Некоторые применения

Кватернионы активно применяются для расчёта трёхмерной графики в компьютерных играх

Производная Гато

Пусть $y=f(x)$ — функция, определённая на теле кватернионов. Мы можем определить понятие левой производной $y'_l$ в точке $x=a$ как такое число, что

$f(x)-f(a)=y'_l(x-a)+o(x-a)$

где $o(x-a)$ такая функция $x$, что

$\lim_{x \to 0}\frac{\|o(x)\|}{\|x\|}=0$

Множество функций, которые имеют левую производную, весьма ограничено. Например, такие функции, как

$y=axb,$

$y=x^2,$

не имеют левой производной.

Рассмотрим приращение этих функций более внимательно.

$a(x+h)b-axb=ahb$

$(x+h)^2-x^2=xh+hx+h^2$

Таким образом, мы можем определить производную $\partial f(x)$ как такое аддитивное отображение приращения, что

$f(x+h)-f(x)=\partial f(x)(h)+o(h)$

Нетрудно показать^[2], что дифференциал можно определить с помощью равенства

$\partial f(x)(h)=\lim_{t\to 0}(t^{-1}(f(x+th)-f(x)))$

где $t$ - действительная переменная. Следовательно, производная функции кватерниона является производной Гато.

Так как производная функции кватерниона является аддитивным отображением, то дифференциал отображения $f$ можно записать в виде^[3]

$\partial f(x)(dx)= \frac{{}_{(s)0}\partial f(x)}{\partial x} dx \frac{{}_{(s)1}\partial f(x)}{\partial x}$

Здесь предполагается суммирование по индексу $s$. Число слагаемых зависит от выбора функции $f$. Выражения $\frac{{}_{(s)0}\partial f(x)}{\partial x}$ и $\frac{{}_{(s)1}\partial f(x)}{\partial x}$ называются компонентами производной.

Производная Гато удовлетворяет равенствам

$\partial (f(x)+g(x))(h) =\partial f(x)(h)+\partial g(x)(h)$

$\partial (f(x)g(x))(h) =\partial f(x)(h)\ g(x)+f(x)\ \partial g(x)(h)$

$\partial (af(x)b)(h) =a\ \partial f(x)(h)\ b$

Если $y=axb$, то

$\partial f(x)(h)=ahb$

$\frac{{}_{(1)0}\partial axb}{\partial x}=a$

$\frac{{}_{(1)1}\partial axb}{\partial x}=b$

Если $y=x^2$, то

$\partial f(x)(h)=xh+hx$

$\frac{{}_{(1)0}\partial x^2}{\partial x}=x$	$\frac{{}_{(1)1}\partial x^2}{\partial x}=1$
$\frac{{}_{(2)0}\partial x^2}{\partial x}=1$	$\frac{{}_{(2)1}\partial x^2}{\partial x}=x$

Примечания

1. ↑ Fueter, R. Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen // Commentarii Mathematici Helvetici. — №1. — Birkhäuser Basel, 1936. — Т. 8. — P. 371—378.
2. ↑ Aleks Kleyn, eprint arXiv:0812.4763 Introduction into Calculus over Division Ring, 2008
3. ↑ Выражение $\frac{{}_{(s)p}\partial f(x)}{\partial x}$ не является дробью и должно восприниматься как символ оператора. Данное обозначение предложенно для того, чтобы сохранить преемственность с классическим анализом.

Литература

• D. B. Sweetser Doing Physics with Quaternions  (англ.)
• A. Sudbery Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics, University of York, 1977.

См. также

• Комплексный анализ