Квантовый эффект Холла в графене

Ква́нтовый эффе́кт Хо́лла в графене или необы́чный ква́нтовый эффе́кт Хо́лла — эффект квантования холловского сопротивления или проводимости двумерного электронного газа или двумерного дырочного газа в сильных магнитных полях в графене. Этот эффект был предсказан теоретически^[1][2] и подтверждён экспериментально в 2005 году^[3][4].

Уровни Ландау

Графен

$\hat{H}=-i\hbar v_F\sigma\cdot\nabla$

Уравнение Дирака для графена

Введение ... Математическая формулировка ...

Основа Квантовая механика · Уравнение Дирака Нейтрино · (2+1)-мерная КЭД · Постоянная тонкой структуры · Фаза Берри · Углеродные нанотрубки Фундаментальные понятия Зонная структура · Уравнение Дирака · Киральность · Гексагональная решётка · Волновая функция · Точка электронейтральности · Видимость графена · Фаза Берри · Двухслойный графен Получение и технология Получение графена · Механическое отшелушивание · Химическое расщепление графита · Рост графеновых плёнок · Подвешенный графен · Верхний затвор Применения Графеновый полевой транзистор Графеновые наноленты Транспортные свойства Электроны и дырки · Проводимость · Фононы· Парадокс Клейна · Линза Веселаго · 1/f · Дробовой шум Случайный телеграфный сигнал · p — n переход · Ферми жидкость Магнитное поле Магнетосопротивление · Осцилляции Шубникова — де Гааза · КЭХ · Спиновый квантовый эффект Холла · ДКЭХ · Осцилляции Вейса · Магнетоэкситоны · Сверхпроводимость · Слабая локализация · Эффект Ааронова — Бома Оптика графена Рамановское рассеяние света · α Известные учёные Андре Гейм · Константин Новосёлов

См. также: Портал:Физика

Уровни Ландау в графене описываются уравнением Дирака для графена с учётом магнитного поля, которое можно записать в виде^[5]

$[\vec{\sigma}\cdot(i\hbar v_F\vec{\nabla}+e\vec{A}/c)]\psi(x,y)=\varepsilon\psi(x,y)$

где использована калибровка Ландау для векторного потенциала $\vec{A}=(-By,0)$, двумерный градиент равен $\vec{\nabla}=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y})$, а вектор $\vec{\sigma}$ составлен из матриц Паули $(\sigma_1,\sigma_2)$. В матричном виде уравнение запишется в виде

$\begin{pmatrix} 0 & -i\hbar v\frac{\partial}{\partial x}-\hbar v\frac{\partial}{\partial y}+eBy\\ -i\hbar v_F\frac{\partial}{\partial x}+\hbar v\frac{\partial}{\partial y}+eBy & 0 \end{pmatrix}\psi(x,y)=\varepsilon\psi(x,y).$

Здесь можно легко разделить переменные и в итоге прийти к спектру для релятивистских уровней Ландау

$\varepsilon_n=\pm\hbar\tilde{\omega_c}\sqrt{n}=\pm\sqrt{\hbar v_F^2eB2n/c},$

где $n=0,\,1,\,2,...$, «циклотронная частота» равна $\tilde{\omega_c}=\sqrt{2}\frac{v_F}{l_B}$, магнитная длина $l_B=\sqrt{\frac{\hbar c}{eB}}.$

Квантовый эффект Холла

Впервые необычный (англ. unconventional) квантовый эффект Холла наблюдали в работах^[3][4], где было показано, что носители в графене действительно обладают нулевой эффективной массой, поскольку положения плато на зависимости недиагональной компоненты тензора проводимости соответствовали полуцелым значениям холловской проводимости $\nu=\pm(|n|+1/2)$ в единицах $4e^2/h$ (множитель 4 появляется из-за четырёхкратного вырождения энергии), то есть

$\sigma_{xy}=\pm\frac{4e^2}{h}\left(|n|+\frac{1}{2}\right)$.

Это квантование согласуется с теорией квантового эффекта Холла для дираковских безмассовых фермионов^[1]. Сравнение целочисленного квантового эффекта Холла в обычной двумерной системе и графене смотрите на рисунке 1. Здесь показаны уширенные уровни Ландау для электронов (выделение красным цветом) и для дырок (синий цвет). Если уровень Ферми находится между уровнями Ландау, то на зависимости холловской проводимости $\sigma_{xy}$ наблюдается ряд плато. Эта зависимость отличается от обычных двумерных систем (аналогом может служить двумерный электронный газ в кремнии, который является двухдолинным полупроводником в плоскостях эквивалентных {100}, то есть тоже обладает четырёхкратным вырождением уровней Ландау и холловские плато наблюдаются при $\nu=4|n|$).

Квантовый эффект Холла (КЭХ) может использоваться как эталон сопротивления, потому что численное значение наблюдаемого в графене плато равное $h/2e^2$ выполняется с хорошей точностью, хотя качество образцов уступает высокоподвижному ДЭГ в GaAs, и, соответственно, точности квантования. Преимущество КЭХ в графене в том, что он наблюдается при комнатной температуре^[6] (в магнитных полях свыше 20 Т). Основное ограничение на наблюдение КЭХ при комнатной температуре накладывает не само размытие распределения Ферми-Дирака, а рассеяние носителей на примесях, что приводит к уширению уровней Ландау.

Рис. 1. a) Квантовый эффект Холла в обычной двумерной системе. b) Квантовый эффект Холла в графене. $g=g_sg_v=4$ — вырождение спектра

p-n переход

Из-за отсутствия запрещённой зоны в графене в структурах с верхним затвором можно сформировать непрерывный p-n переход, когда напряжение на верхнем затворе позволяет инвертировать знак носителей, задаваемый обратным затвором в графене, где концентрация носителей никогда не обращается в ноль (кроме точки электронейтральности) и нет области лишённой носителей как в обычных p-n переходах. В таких структурах тоже можно наблюдать квантовый эффект Холла, но из-за неоднородности знака носителей значения холловских плато отличаются он приведённых выше. Для структуры с одним p-n переходом значения квантования холловской проводимости описываются формулой^[7]

$G=\frac{2e^2}{h}\frac{|\nu^{'}||\nu|}{|\nu^{'}|+|\nu|},$

где $\nu$ и $\nu^{'}$ — факторы заполнения в n- и p- области соответственно (p-область находится под верхним затвором), которые могут принимать значения $\pm2, \pm6, \pm10$ и т. д. Тогда плато в структурах с одним p-n переходом наблюдаются при значениях 1, 3/2, 3, 5/3 и т. д. Такие значения плато были наблюдены в эксперименте.^[8]

p-n-p переход

Для структуры с двумя p-n переходами^[9] соответствующие значения холловской проводимости равны

$G=\frac{e^2}{h}\frac{|\nu^{'}||\nu|}{2|\nu^{'}|+|\nu|}=\frac{2}{3},\frac{6}{5},\frac{6}{7},...(\nu\nu^{'}<0).$

Расщепление основного уровня Ландау

В работе^[10] наблюдается спиновое расщепление релятивистских уровней Ландау и снятие четырёхкратного вырождения для наинизшего уровня Ландау вблизи точки электронейтральности. Для объяснения этого эффекта предложено несколько теорий^[11].

См. также

• Квантовый эффект Холла

Ссылки

1. ↑ ^{1 2} Gusynin V. P. et al. «Unconventional Integer Quantum Hall Effect in Graphene» Phys. Rev. Lett. 95, 146801 (2005) DOI:10.1103/PhysRevLett.95.146801
2. ↑ Peres N. M. R., et. al. Electronic properties of disordered two-dimensional carbon Phys. Rev. B 73, 125411 (2006) DOI:10.1103/PhysRevB.73.125411
3. ↑ ^{1 2} Novoselov K. S. et al. «Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene», Nature 438, 197 (2005) DOI:10.1038/nature04233
4. ↑ ^{1 2} Zhang Y.et. al. «Experimental observation of the quantum Hall effect and Berry’s phase in graphene» Nature 438, 201 (2005) DOI:10.1038/nature04235
5. ↑ Peres N. M. R. et. al. „Algebraic solution of a graphene layer in transverse electric and perpendicular magnetic fields“J. Phys.: Condens. Matter 19, 406231 (2007) DOI:10.1088/0953-8984/19/40/406231
6. ↑ Novoselov K. S. et. al. Room-Temperature Quantum Hall Effect in Graphene Science 315, 1379 (2007) DOI:10.1126/science.1137201
7. ↑ Abanin D. A., Levitov L. S. Quantized Transport in Graphene p-n Junctions in a Magnetic Field Science 3, 641 (2007) DOI:10.1126/science.1144672
8. ↑ Williams J. R. et. al. Quantum Hall Effect in a Gate-Controlled p-n Junction of Graphene Science 317, 638 (2007) DOI:10.1126/science.1144657
9. ↑ Özyilmaz B. et. al. Electronic Transport and Quantum Hall Effect in Bipolar Graphene p-n-p Junctions Phys. Rev. Lett. 99, 166804 (2007) DOI:10.1103/PhysRevLett.99.166804
10. ↑ Zhang Y., et al., «Landau-Level Splitting in Graphene in High Magnetic Fields» Phys. Rev. Lett. 96, 136806 (2006) DOI:10.1103/PhysRevLett.96.136806
11. ↑ Fuchs J. et al. Spontaneous Parity Breaking of Graphene in the Quantum Hall Regime Phys. Rev. Lett. 98, 016803 (2007) DOI:10.1103/PhysRevLett.98.016803; Nomura K. et al., Quantum Hall Ferromagnetism in Graphene Phys. Rev. Lett. 96, 256602 (2006) DOI:10.1103/PhysRevLett.96.256602; Abanin D. A. et al., Spin-Filtered Edge States and Quantum Hall Effect in Graphene Phys. Rev. Lett. 96, 176803 (2006) DOI:10.1103/PhysRevLett.96.176803; Fertig H. A. et al., Luttinger Liquid at the Edge of Undoped Graphene in a Strong Magnetic Field Phys. Rev. Lett. 97, 116805 (2006) DOI:10.1103/PhysRevLett.97.116805; Goerbig M. O. et al., Electron interactions in graphene in a strong magnetic field Phys. Rev. B 74, 161407 (2006) DOI:10.1103/PhysRevB.74.161407; Alicea J. et al., Graphene integer quantum Hall effect in the ferromagnetic and paramagnetic regimes Phys. Rev. B 74, 075422 (2006) DOI:10.1103/PhysRevB.74.075422; Gusynin V. P. et al., Excitonic gap, phase transition, and quantum Hall effect in graphene Phys. Rev. B 74, 195429 (2006) DOI:10.1103/PhysRevB.74.195429