Квантовый вентиль

Квантовый вентиль (квантовый логический элемент) — это базовый элемент квантового компьютера, преобразующий входные состояния кубитов на выходные по определённому закону. Отличается от обычных логических вентилей тем, что работает с кубитами, а следовательно подчиняется квантовой логике. Квантовые вентили в отличие от многих классических всегда являются обратимыми.

Так как кубит можно представить вектором в двумерном пространстве, то действие вентиля можно описать унитарной матрицей, на которую умножается соответствующий вектор состояния входного кубита. Однокубитные вентили описываются матрицами размера 2 × 2, двухкубитные — 4 × 4, а n-кубитные — 2ⁿ × 2ⁿ.

Примеры квантовых вентилей

Простейшие однокубитовые вентили:

• Тождественное преобразование:

$\sigma_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

• Отрицание:

$\sigma_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

• Фазовый сдвиг:

$\sigma_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

• Преобразование Адамара:

$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

Также возможны вентили, имеющие два входа (и два выхода, так как количество входов и выходов у квантовых вентилей должно совпадать в силу требования унитарности):

• Контролируемое U (C-U). Суть контролируемого U заключается в том, что на первый вход подаётся управляющий кубит, а на второй — управляемый. Если управляющий кубит равен единице, над управляемым проводится операция U, а если нулю — тождественное преобразование (кубит подается на выход без изменений). Если матрица U имеет вид

$U = \begin{bmatrix} x_{00} & x_{01} \\ x_{10} & x_{11} \end{bmatrix}$,

тогда матрица преобразования C-U выглядит так:

$\operatorname{C}(U) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x_{00} & x_{01} \\ 0 & 0 & x_{10} & x_{11} \end{bmatrix}$

• Контролируемое отрицание (C-NOT). В этом случае $U = \sigma_3$ и матрица преобразования имеет вид:

$CNOT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

Важными 3-х кубитными вентилями являются:

• вентиль Тоффоли (Toffoli, часто CCNOT) — является универсальным. Может быть реализован на C-NOT и однокубитных вентилях. Похож по алгоритму работы на CNOT, но обращает значение последнего бита только если два первых входа равны единице. В противном случае все входы подаются на выход неизменными.
• вентиль Фредкина (Fredkin, часто CSWAP) — также универсален. Если первый вход установлен, переставляет значения кубитов со входов 2 и 3. Иначе все три кубита остаются без изменений.

Универсальные квантовые вентили

Набор квантовых вентилей называют универсальным, если любое унитарное преобразование можно аппроксимировать с любой заданной точностью конечной последовательностью вентилей из этого набора. Иными словами, универсальные квантовые вентили являются генераторами группы унитарных матриц. Можно доказать, что набор, состоящий из вентиля C-NOT и всех однокубитных вентилей, является универсальным. Возможны и другие универсальные наборы.

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.