Инвариант узла

У этого термина существуют и другие значения, см. Инвариант.

Инвариантом узла называют величину (в широком смысле), определённую для каждого узла, одинаковую для эквивалентных узлов. Эквивалентность обыкновенно задаётся объемлющей изотопией, но может задаваться и как гомеоморфизм. Некоторые инварианты в самом деле являются числами, но, вообще говоря, они могут розниться: от простых, вроде ответа да/нет до столь сложных как теория гомологий. Исследования инвариантов мотивированы не только основной задачей теории — различением узлов — но также и необходимостью понять фундаментальные свойства узлов и их связью с другими областями математики.

С современной точки зрения, естественно определять инвариант узла по его диаграмме. Конечно, инвариант должен оставаться неизменным при движениях Рейдемейстера (как говорят, инвариантным относительно них). Простым примером является возможность раскрасить в три цвета. Также используют полиномы узлов, такие как полином Джонса, которые являются на данный момент одними из самых удобных инвариантов для различения узлов. Однако на данный момент неизвестно, существует ли полином узла, который различает все неэквивалентные узлы или хотя бы отличает тривиальный узел от остальных.

Другие инварианты могут быть определены при рассмотрении некоторых целочисленных функций на узловых диаграммах, взятием их минимума среди всех возможных диаграмм данного узла. К этому типу относится число сечений, которое является минимумом количества перекрёстов среди всех диаграмм узла, а также минимальное число мостов (bridge number).

Исторически, многие из ранних узловых инвариантов не определялись по диаграмме узла, что порой превращает их вычисление в сложную задачу. К примеру, нахождение рода узла (knot genus) — крайне хитроумная задача, но может быть крайне полезной (например, в различении мутантов).

Теорема Гордона — Люка утверждает, что дополнение узла (как топологического пространства) является «полным инвариантом» узла, в том смысле, что он отличает заданный узел от всех остальных с точностью до объемлющей изотопии и зеркального отражения. Среди инвариантов, связанных с дополнением узла, есть группа узла, которая является просто фундаментальной группой его дополнения. Квандл узла (knot quandle) также является полным инвариантом в этом смысле, но квандлы трудно сравнивать на изоморфность.

Гиперболическая структура на дополнении гиперболического зацепления однозначно определяется жёсткостью Мостова — Прасада, поэтому гиперболический объём инвариантен для этих узлов и зацеплений. Объём и другие гиперболические инварианты оказались эффективныи, для составления обширных таблиц узлов.

В последние годы большой интерес вызывают гомологические инварианты узлов, которые категорифицируют (переводят в термины теории категорий) хорошо известные инварианты. Гомология Хигарда Флора — это теория гомологии, эйлеровой характеристикой которой является полином Александера узла. Она оказалась полезной для получения новых результатов о классических инвариантах. Еще одно направление исследований — комбинаторно определённая теория когомологий, названная гомологией Хованова, её эйлерова характеристика — полином Джонса. Недавно с её помощью получениы ограничения на род среза (slice genus), прежние доказательства основывались на калибровочной теории. Хованов и Розанский определили ещё несколько родственных когомологических теорий, чьи эйлеровы характеристики покрывают другие классические инварианты.

Также возрастает интерес к пониманию «физических» или геометрических свойств узлов и их связь с топологическими инвариантами и типами узлов. Старый результат в этом направлении — теорема Фари — Милнора, которая утверждает, что если полная кривизна узла в $\mathbb{R}^3$ удовлетворяет

$\oint_K \kappa \,ds \leq 4\pi,$

где $\kappa(p)$ — кривизна в точке $p$, то $K$ — тривиальный узел. Поэтому, для заузленных кривых,

$\oint_K \kappa\,ds > 4\pi.\,$

Примером «физического» инварианта является длина верёвки (ropelength), единичной толщины, необходимая для реализации определённого типа узла.

Литература

• Rolfsen, D. Knots and Links. AMS (2003)
• Adams, C. The knot book. AMS (2004)
• Burde, G. Zieschang, H. Knots. De Gruyter (2002)

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Проверить качество перевода с иностранного языка. Добавить иллюстрации.