Ассоциатор

В теории колец ассоциатор кольца $R$ — это полилинейное отображение $R\times R\times R \to R$, определяемое по формуле

$[x,y,z] = (xy)z - x(yz).$

Подобно тому, как коммутатор измеряет «степень некоммутативности» кольца, ассоциатор измеряет его «степень неассоциативности». А именно, ассоциатор трёх элементов равен нулю тогда и только тогда, когда их умножение в заданном порядке является ассоциативным. Если ассоциатор всех элементов кольца равен 0, то кольцо ассоциативно.

Свойства

В любом кольце для ассоциатора верно тождество

$w[x,y,z] + [w,x,y]z = [wx,y,z] - [w,xy,z] + [w,x,yz].$

Кольцо является альтернативным тогда и только тогда, когда его ассоциатор альтернативен, то есть

$[x,y,z] = \mathrm{sgn}\,\sigma [\sigma(x),\sigma(y),\sigma(z)]$

где $\sigma$ — перестановка элементов $x,y,z,$ $\mathrm{sgn}\,\sigma$ — чётность этой перестановки.

Теория категорий

В теории категорий ассоциатором называется изоморфизм

$a_{x,y,z} : (x \otimes y)\otimes z \mapsto x\otimes (y\otimes z).$

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 12 мая 2011.