RS-анализ

RS-анализ — совокупность статистических приёмов и методов анализа временных рядов (преимущественно финансовых), позволяющих определить некоторые важные их характеристики, такие как наличие непериодических циклов, памяти и т. п.

Методология

Пусть имеется последовательность $S=(S_t)_{t\ge0}$ котировок некоторой ценной бумаги (в общем случае — временной ряд). Образуем из данного ряда последовательность $h=(h_t)_{t\ge1}$, где $h_t=\ln\left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right)$ — логарифмическая доходность в момент времени $t$.

Для каждого натурального n составим величины $H_n=\sum_{k=1}^n h_k$ и вычислим следующие числовые характеристики получившейся подпоследовательности.

Пусть $\overline{h}_n=\frac{H_n}{n}$ — среднее арифметическое элементов подпоследовательности $h=(h_t)_{t=1}^n$

1. Размах накопленных сумм $R_n=\underset{k=1,...,n}{\max}\left(\sum_{i=1}^k \left(h_i-\overline{h}_n \right) \right) - \underset{k=1,...,n}{\min}\left(\sum_{i=1}^k \left(h_i-\overline{h}_n \right) \right)$;
2. Среднеквадратичное отклонение $S_n: S_n^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(h_i-\overline{h}_n\right)^2$;
3. Нормированный размах накопленных сумм (англ. the adjusted range of cumulative sums) $RS_n=\frac{R_n}{S_n}$

Вычисляя в соответствии с вышеприведённым алгоритмом значения $RS_n$, образуем из них и соответствующих значений количества элементов $n$ последовательность точек на плоскости $\left( x_n,y_n \right) \equiv \left( \ln n,\ln RS_n \right)_{n=1}^N$. Осталось применить метод наименьших квадратов (МНК) для определения углового коэффициента прямой, проходящей максимально близко к полученным точкам.

По известной МНК-формуле, полагая $c_1=\sum_{i=1}^N x^2 \ , \ c_2=\sum_{i=1}^N x \ ; \ g_1=\sum_{i=1}^N xy \ ; \ g_2=\sum_{i=1}^N y \ , \ \ \$ находим коэффициент Хёрста

$\mathbb H = \frac{Ng_1 - c_2 g_2}{Nc_1-c_2 ^2}$

Замечания

1. Знание коэффициента Хёрста $\mathbb H$ временного ряда позволяет элементарно, в обход рутинной процедуры вычисления предела, получить такой нетривиальный показатель, как размерность Минковского временного ряда $d$ по формуле $d=2-\mathbb H.$
2. Коэффициент Хёрста $\mathbb H>0.5$ соответствует фрактальному броуновскому движению с положительной корреляцией (долгой памятью), $\mathbb H=0.5$ — обычному белому гауссовскому шуму $\mathcal{f} \varepsilon_t, t\ge0: \varepsilon_t \sim iid\ N(\mu,\sigma) \mathcal{g}$

Литература

• Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. — М.: Интернет-трейдинг, 2004. — 304 с. — ISBN 5-902360-03-X
• Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. — М.: Мир, 2000. — 333 с. — ISBN 5-03-003356-4
• Шиpяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. — М.: Фазис, 1998. — Т. 1. — 512 с. — ISBN 5-7036-0043-X

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Связать? Воспользоваться подсказкой и установить ссылки из других статей Википедии.