Поверхностный интеграл

Поверхностный интеграл первого рода

Пусть Σ - поверхность в пространстве R³, тогда интеграл $~ \iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)d\sigma$ называется поверхностным интегралом первого рода по поверхности Σ. Если поверхность задана как {x, y, z(x,y)}, то $d\sigma = \sqrt{1+Z_x^2+Z_y^2}\;dxdy$

Поверхностный интеграл по поверхности Σ, взаимнооднозначно проецируемой на плоскость xOy вычисляется сведением его к двойному интегралу по площадке D_xy:

$~ \iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)d\sigma = \iint\limits_{Dxy}f(x,y,z)|_{z=z(x,y)}\;\sqrt{1+Z_x^2+Z_y^2}\;dxdy$

Последний, в свою очередь, решается приведением к повторному интегралу. Поверхностный интеграл первого рода существует, если поверхность ограничена, а функция непрерывна на замкнутой поверхности.

Свойства

1. Линейность: $~\iint\limits_{\Sigma}(\alpha f + \beta g)d\sigma = \alpha \iint\limits_{\Sigma}fd\sigma + \beta \iint\limits_{\Sigma}gd\sigma$

2. Аддитивность: $~\iint\limits_{\Sigma_1}fd\sigma + \iint\limits_{\Sigma_2}fd\sigma = \iint\limits_{\Sigma_1+\Sigma_2}fd\sigma$

3. Монотонность:

• если f > g, то $\iint\limits_{\Sigma}fd\sigma > \iint\limits_{\Sigma}gd\sigma$
• для $f \ge 0$ если $\Sigma_1 \in \Sigma_2$, то $\iint\limits_{\Sigma_1}fd\sigma < \iint\limits_{\Sigma_2}fd\sigma$

4. Теорема о среднем для непрерывной функции f и замкнутой ограниченной поверхности Σ:

$~\iint\limits_{\Sigma}fd\sigma = f(\xi)\iint\limits_{\Sigma}d\sigma = f(\xi)\;\mu(\sigma)$

Поверхностный интеграл второго рода

Поверхностным интегралом второго рода от функции f называется каждый из интегралов:

$(1): \iint\limits_{\Sigma+}f(x,y,z)dxdy$

$(2): \iint\limits_{\Sigma+}f(x,y,z)dxdz$

$(3): \iint\limits_{\Sigma+}f(x,y,z)dydz$

$(4): \iint\limits_{\Sigma-}f(x,y,z)dxdy$

$(5): \iint\limits_{\Sigma-}f(x,y,z)dxdz$

$(6): \iint\limits_{\Sigma-}f(x,y,z)dydz$

Связь между поверхностным интегралом второго и первого рода: $~ \iint\limits_{\Sigma+}f(x,y,z)dydz = \iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)cos(+\nu\hat{;}i)d\sigma$, где ν — единичный вектор нормали поверхности Σ, i — орт.

Свойства

Совпадают со свойствами интеграла первого рода, добавляются свойства, связанные с ориентацией поверхности. При замене ориентации на противоположную поверхностный интеграл второго рода меняет знак.

См. также

• Поток векторного поля