Закон сохранения импульса

Механика сплошных сред

Классическая механика
Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса

Теория упругости
Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоэластичность

Гидродинамика
Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение

Основные уравнения
Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение диффузии · Закон Гука

Известные учёные
Ньютон · Гук Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье

Просмотр • Обсуждение • Править

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.

Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил. В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Однако этот закон сохранения верен и в случаях, когда ньютоновская механика неприменима (релятивистская физика, квантовая механика).

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса описывает одну из фундаментальных симметрий, — однородность пространства.

Содержание

1 Вывод из формализма Ньютона
2 Связь с однородностью времени
- 2.1 Вывод из формализма Лагранжа
3 Закон сохранения импульса в общей теории относительности

[править] Вывод из формализма Ньютона

Рассмотрим выражение определения силы

$\frac{d\vec {p}}{dt}=\vec {F}.$

Перепишем его для системы из N частиц:

$\sum_{n=1}^{N} \frac{\vec{dp_n}}{dt}=\sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{N}\ \vec{F}_{n,m}, \qquad m\ne n, \qquad\qquad (1)$

где суммирование идет по всем силам, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида $\vec {F}_{a,b}$ и $\vec {F}_{b,a}$ будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть $\vec{F}_{a,b} = -\vec{F}_{b,a}.$ Тогда после подстановки полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:

$\sum_{n=1}^{N} \frac{d\vec{p}_n}{dt}=0$

или

$\!\qquad \frac {d}{dt}\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=0.$

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

$\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=\overrightarrow {\mathrm{const}} \qquad\!$ (постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы частиц есть величина постоянная. Нетрудно получить аналогичное выражение для одной частицы.

Следует учесть, что вышеприведенные рассуждения справедливы лишь для замкнутой системы.

Точка обрыва зависит от продолжительности действия силы

Также стоит подчеркнуть, что изменение импульса $d\vec {p}$ зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности её действия. Это легко продемонстрировать на примере. Пусть на нити висит шарик массы $M.\!$ Если медленно тянуть за нижнюю нить силой $F,\!$ то обрывается верхняя нить, так как за время действия силы тело успевает приобрести и некоторую скорость (некоторый импульс). Если же резко потянуть за нижнюю нить, она обрывается. Шарик в этом случае продолжает висеть (он не успевает приобрести заметную скорость, поскольку импульс силы $d\vec {p} = \vec {F}dt$ очень мал.

[править] Связь с однородностью времени

Симметрия в физике
Преобразо- вания	Инвариант- ность	Закон сохранения
↕ трансляции времени	Консервативность	…энергии
↔ изотропия времени	Изотропия времени	…энтропии в обратимых процессах
↔ трансляции пространства	Однородность	…импульса
○ Вращения	Изотропия	…момента импульса
× Группа Лоренца	Относительность Лоренц-инвариантность	инвариантность интервала (и др. скаляров пространства-времени)

Согласно теореме Нётер каждому закону сохранению ставится в соответствие некая симметрия уравнений, описывающих систему. В частности, закон сохранения импульса эквивалентен однородности пространство, то есть независимости всех законов, описывающих систему, от положения системы в пространстве. Простейший вывод этого утверждения основан на применении лагранжева подхода к описанию системы.

[править] Вывод из формализма Лагранжа

Рассмотрим функцию Лагранжа свободного тела $\mathcal L \equiv \mathcal L(q_i, \dot q_i, t),$ зависящую от обобщённых координат $q_i\,,$ обобщённых скоростей $\dot q_i$ и времени t. Здесь точка над q обозначает дифференцирование по времени, $\dot q_i \equiv \frac{\partial q_i}{\partial t}.$ Выберем для рассмотрения прямоугольную декартову систему координат, тогда $q_i=\vec r_a, \ \dot q_i = \vec v_a$ для каждой $\!a$ -той частицы. Используя однородность пространства, мы можем дать всем радиус-векторам частиц одинаковое приращение, которое не будет влиять на уравнения движения: $\vec r_a \to \vec r_a + \vec{\xi},$ где $\vec{\xi} \equiv \overrightarrow {\mathrm{const}}.$ В случае постоянства скорости функция Лагранжа изменится следующим образом:

$\delta \mathcal L = \sum_{a}\frac{\partial\mathcal L}{\partial \vec r_a} \delta \vec r_a = \vec{\xi}\ \sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a},$

где суммирование идет по всем частицам системы. Так как приращение не влияет на уравнения движения, то вариация функции Лагранжа должна быть равной нулю: $\partial \mathcal L =0.$ С учётом того, что вектор $\vec \xi$ — произвольный, последнее требование выполняется при:

$\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a}=0.$

Воспользуемся уравнением Лагранжа $\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}=0:$

$\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a} = \sum_{a}\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = \frac{d}{dt}\sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = 0 .$

Это означает, что сумма, стоящая под знаком дифференциала, — постоянная величина для рассматриваемой системы. Сама сумма и есть суммарный импульс системы:

$\vec P = \sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = \overrightarrow {\mathrm{const}}.$ .

Учитывая, что лагранжиан свободной частицы имеет вид: $\mathcal L = \frac{mv^2}{2},$ нетрудно видеть, что последнее выражение совпадает с выражением в ньютоновом формализме:

$\vec P = \sum_a m_a \vec v_a = \overrightarrow {\mathrm{const}}.$

Для релятивистской свободной частицы лагранжиан имеет несколько другую форму: $\mathcal L = -mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},$ что приводит к релятивистскому определению импульса

$\vec P = \sum_a \frac{m_a \vec v_a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \overrightarrow {\mathrm{const}}.$

В настоящее время не существует каких-либо экспериментальных фактов, свидетельствующих о невыполнении закона сохранения импульса.

[править] Закон сохранения импульса в общей теории относительности

Основная статья: Проблема законов сохранения в общей теории относительности

Аналогично ситуации с законом сохранения энергии, при переходе к искривлённому пространству-времени закон сохранения импульса, выражаемый пространственными компонентами соотношения для тензора энергии-импульса

$T^\mu_{\nu;\mu}=0,$

где точка с запятой выражает ковариантную производную, приводит лишь к локально сохраняющимся величинам. Это связано с отсутствием глобальной однородности пространства в пространстве-времени общего вида.

Можно придумать такие определения импульса гравитационного поля, что глобальный закон сохранения импульса будет выполняться при движении во времени системы тел и полей, но все такие определения содержат элемент произвола, так как вводимый импульс гравитационного поля не может быть тензорной величиной при произвольных преобразованиях координат.

Это незавершённая статья по физике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Источник — «%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD %D1%81%D0%BE%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F %D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81%D0%B0»

Категории: Механика сплошных сред | Физические законы | Законы сохранения

Скрытая категория: Незавершённые статьи по физике


translations interpretations all dictionaries interface for translators