Законы Кеплера

Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом $m_p$/$m_S$ → 0, где $m_p$, $m_S$ — массы планеты и Солнца.

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Первый закон Кеплера.

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением $e=\frac{c}{a}$, где $c$ — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), ${a}$ — большая полуось. Величина $e$ называется эксцентриситетом эллипса. При $c=0$, и, следовательно, $e=0$ эллипс превращается в окружность.

Доказательство первого закона Кеплера   

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во вселенной притягивает каждый другой объект по линии соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a имеет форму

$\mathbf{a} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = f(r)\hat{\mathbf{r}}.$

Вспомним, что в полярных координатах

$\frac{d\mathbf{r}}{dt} =\dot r\hat{\mathbf{r}} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta},$

$\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta}.$

В координатной форме запишем

$\ddot r - r\dot\theta^2 = f(r),$

$r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta = 0.$

Подставляя $\ddot \theta$ и $\dot r$ во второе уравнение, получим

$r { d \dot\theta \over dt } + 2 {dr \over dt} \dot\theta = 0,$

которое упрощается

$\frac{d\dot\theta}{\dot\theta} = -2\frac{dr}{r}.$

После интегрирования запишем выражение

$\ln\dot\theta = -2\ln r + \ln\ell,$

$\ln\ell = \ln r^2 + \ln\dot\theta,$

$\ell = r^2\dot\theta,$

для некоторой константы $\ell$, которая является удельным угловым моментом ($\ell=\mathbf{r}\times \mathbf{v}$).Пусть

$r = \frac{1}{u},$

$\dot r = -\frac{1}{u^2}\dot u = -\frac{1}{u^2}\frac{d\theta}{dt}\frac{du}{d\theta}= -\ell\frac{du}{d\theta},$

$\ddot r = -\ell\frac{d}{dt}\frac{du}{d\theta} = -\ell\dot\theta\frac{d^2u}{d\theta^2}= -\ell^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}.$

Уравнение движения в направлении $\hat{\mathbf{r}}$ становится равным

$\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = - \frac{1}{\ell^2u^2}f\left(\frac{1}{u}\right).$

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

$f \left( {1 \over u} \right) = f(r)= - \, { GM \over r^2 } = - GM u^2$

где G — универсальная гравитационная константа и M — масса звезды.

В результате

$\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{\ell^2}.$

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:

$u = \frac{GM}{\ell^2} \left[ 1 + e\cos(\theta-\theta_0) \right] .$

для произвольных констант интегрирования e и θ₀.

Заменяя u на 1/r и полагая θ₀ = 0, получим:

$r = { 1 \over u } = \frac{ \ell^2 / GM }{ 1+ e\cos\theta}.$

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Второй закон Кеплера.

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

Применительное к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Доказательство второго закона Кеплера   

По определению угловой момент $\mathbf{L}$ точечной частицы с массой $m$ и скоростью $\mathbf{v}$ записывается в виде:

$\mathbf{L} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times ( m \mathbf{v} )$.

где $\mathbf{r}$ — радиус-вектор частицы а $\mathbf{p} = m \mathbf{v}$ — импульс частицы. Площадь, заметаемая радиус-вектором $\mathbf{r}$ за время $dt$ из геометрических соображений равна $dS=\frac{1}{2}r\sin\theta v dt=\frac{1}{2}|\mathbf{r}\times\mathbf{v}| dt=\frac{\mathbf{|L|}}{2m}dt$, где $\theta$ представляет собой угол между направлениями $\mathbf{r}$ и $\mathbf{v}$.

По определению

$\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}$.

В результате мы имеем

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\frac{d\mathbf{r}}{dt}$.

Продифференцируем обе части уравнения по времени

$\frac{d\mathbf{L}}{dt} = (\mathbf{r} \times \mathbf{F}) + \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times m\frac{d\mathbf{r}}{dt} \right) = ( \mathbf{r} \times \mathbf{F} ) + ( \mathbf{v} \times \mathbf{p} ) = 0$

поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что F всегда параллелен r, поскольку сила радиальная, и p всегда параллелен v по определению. Таким образом можно утверждать, что $|\mathbf{L}|$, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади $\frac{dS}{dt}$ — константа.

Третий закон Кеплера (гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$, где $T_1$ и $T_2$ — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а $a_1$ и $a_2$ — длины больших полуосей их орбит.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты: $\frac{T_1^2(M+m_1)}{T_2^2(M+m_2)} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$, где $M$ — масса Солнца, а $m_1$ и $m_2$ — массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Доказательство третьего закона Кеплера   

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках A и B (перигелий и афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

$\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1-\epsilon)a\cdot V_A\,dt= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B\,dt$

$(1-\epsilon)\cdot V_A=(1+\epsilon)\cdot V_B$

$V_A=V_B\cdot\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}$

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках A и B, запишем

$\frac{mV_A^2}{2}-\frac{GmM}{(1-\varepsilon)a} =\frac{mV_B^2}{2}-\frac{GmM}{(1+\varepsilon)a}$

$\frac{V_A^2}{2}-\frac{V_B^2}{2} =\frac{GM}{(1-\varepsilon)a}-\frac{GM}{(1+\varepsilon)a}$

$\frac{V_A^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1}{(1-\varepsilon)}-\frac{1}{(1+\epsilon)} \right )$

$\frac{\left ( V_B\cdot\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right ) ^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1+\varepsilon-1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} \right )$

$V_B^2 \cdot \left ( \frac{1+\epsilon}{1-\varepsilon}\right ) ^2-V_B^2=\frac{2GM}{a}\cdot \left ( \frac{2\epsilon}{(1-\epsilon)(1+\epsilon)} \right )$

$V_B^2 \cdot \left ( \frac{(1+\epsilon)^2-(1-\epsilon)^2}{(1-\epsilon)^2}\right )=\frac{4GM\epsilon}{a\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}$

$V_B^2 \cdot \left ( \frac{1+2\epsilon+\epsilon^2-1+2\epsilon-\epsilon^2}{(1-\epsilon)^2} \right) =\frac{4GM\epsilon}{a\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}$

$V_B^2 \cdot 4\epsilon =\frac{4GM\epsilon\cdot (1-\epsilon)^2}{a\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}$

$V_B =\sqrt{\frac{GM\cdot(1-\epsilon)}{a\cdot(1+\epsilon)}}.$

Теперь, когда мы нашли $V_B$, мы можем найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

$\frac{dA}{dt}=\frac{\frac{1}{2}\cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B \,dt}{dt}= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B$

$= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot \sqrt{\frac{GM\cdot(1-\epsilon)}{a\cdot(1+\epsilon)}} = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}$

Однако полная площадь эллипса равна $\pi a \sqrt{(1-\epsilon^2)}a$ (что равно $\pi a b$, поскольку $b=\sqrt{(1-\epsilon^2)}a$). Время полного оборота, таким образом, равно

$T\cdot \frac{dA}{dt}=\pi a \sqrt{(1-\epsilon^2)}a$

$T\cdot \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}=\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2$

$T=\frac{2\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2}{\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}} =\frac{2\pi a^2}{\sqrt{GMa}}= \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3}$

$T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3.$

Заметим, что если масса m не пренебрежимо мала по сравнению с M, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы $M+m$ (см. приведённая масса). При этом массу M в последней формуле нужно заменить на $M+m$:

$T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3.$

• Небесная механика
• Задача Бертрана